Dona Fifi aos 19 anos.



A Entropia em um jogo de bridge


Quando eu era uma garotinha em Sobral, tia Luzia, uma das grandes damas de minha família, ao tomar conhecimento que eu não sabia jogar bridge, decretou: "A educação dessa menina está incompleta". Tive de aprender esse jogo que era praticado por damas e cavalheiros do império britânico. Pois agora vou fazer valer o esforço usando o jogo de bridge para explicar como se pode medir a entropia.

Não se assuste: não é preciso saber jogar bridge para entender o argumento. Nesse jogo, um baralho normal de 52 cartas é dividido, ao acaso, entre 4 jogadores, cada um recebendo uma "mão" de 13 cartas. Há um esquema de contar pontos para as cartas que é o seguinte: um Ás vale 4 pontos, um Rei vale 3 pontos, uma Dama vale 2 pontos e um Valete vale 1 ponto. As demais cartas valem zero pontos.

Digamos que José recebeu a mão de cima (sortudo!), que vale 37 pontos, e João recebeu a mão de baixo (coitado!), que vale zero pontos. Alguém pode pensar que a mão de José é muito menos provável que a de João, mas não é. Um jogador de bridge pode não concordar, mas, ambas são igualmente prováveis! Como cada carta só ocorre uma vez no baralho, tirar um rei de copas é tão difícil quanto tirar um dois de paus. Portanto, pegando, ao acaso, 13 cartas de um baralho, é tão difícil conseguir uma mão como a de cima quanto uma mão exatamente como a de baixo.

Há algo, porém, que distingue as duas mãos: o número de pontos. A questão certa não é saber a probabilidade de cada mão. Ambas são igualmente prováveis. A questão é saber qual é a probabilidade de receber uma mão com 37 pontos ou de receber uma mão de zero pontos. Agora, a coisa é diferente. Só existem 4 mãos diferentes que valem 37 pontos. Todas elas são como a mão da figura de cima, apenas trocando o naipe do valete. Já uma mão de zero pontos é qualquer mão sem nenhum ás ou carta de figura. O número de mãos possíveis com zero pontos é da ordem de 2,3 bilhões!

(Para quem conhece análise combinatória: para fazer uma mão de zero pontos basta tirar os 4 ases e as 12 figuras de um baralho (16 cartas) e separar uma mão de 13 cartas a partir das 36 cartas restantes. O número de mãos distintas será a combinação de 36 cartas, tomadas 13 a 13:

C3613 = 36! / ((36-13)! 13!) = 2.310.789.600 )

Para facilitar nossa conversa, vamos usar os termos microestado e macroestado, como Boltzmann fazia. Qualquer uma dessas 2,3 bilhões de mãos será um microestado do macroestado correspondente a zero pontos. Isto é, o macroestado zero pontos tem 2,3 bilhões de microestados, enquanto o macroestado 37 pontos tem apenas 4 microestados. Agora, é fácil entender porque uma mão de zero pontos é mais provável que uma mão de muitos pontos: ela tem muito mais microestados.

Podemos, agora, definir a ENTROPIA de uma pontuação no bridge como sendo o número de mãos diferentes com essa pontuação. Ou, equivalentemente, essa entropia será o número de microestados em um macroestado. A entropia da mão de zero pontos (macroestado) é cerca de 2,3 bilhões (número de microestados), enquanto a entropia da mão de 37 pontos é apenas 4.

Como exercício, você pode calcular a entropia de uma mão de 12 pontos.

Como veremos a seguir, essa definição de entropia serve, com alguma modificação, para ser usada em qualquer sistema físico, seja uma mão de baralho, um motor de carro, um balde com água, uma estrela ou até mesmo o Universo, com U maiúsculo. Antes, vamos resumir o que vimos até aqui.

1) Um macroestado de um sistema é composto de um certo número de microestados.

2) Todos os microestados de qualquer macroestado são igualmente prováveis.

3) Quanto mais microestados um macroestado tiver, mais provável ele é.

4) A entropia de um macroestado é proporcional ao número de microestados que ele tem.


Apostila 5: Entropia, probabilidade e desordem.

Apostila 6: As atribulações de Ludwig Boltzmann.

Apostila 7: Entropia de um buraco negro.