Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
O NÚMERO F e a SÉRIE DE FIBONACCI

A série de Fibonacci.
Agora vou falar de algo que foi descoberto séculos após Euclides por um matemático chamado Leonardo que, sendo morador de Pisa, a cidade onde existe a famosa torre inclinada, era conhecido como Leonardo de Pisa. E, como nascera de família de boa estirpe, ficou também conhecido como Fibonaccci, que significa, literalmente, "filho de boa gente".

Pois esse Fibonacci publicou, em 1202, um livro chamado "Livro dos Ábacos" onde tratava de vários temas matemáticos que considerava como importantes. Um deles, provavelmente inventado por ele próprio, tratava do problema de calcular quantos coelhos poderiam ser produzidos em um ano, a partir de um único casal. Da forma como enunciado por Fibonacci, o problema é muito artificial. Supõe que cada casal leva um mês, após nascer, para ficar fértil, gera sempre outro casal, a cada mês, e nenhum coelho morre durante o ano. Mas, o que interessa é o resultado.

O mês inicial (0) é usado para que o primeiro casal atinja a fertilidade. No mês seguinte o casal está fértil e um novo casal é gerado. Portanto, durante o segundo mês, teremos dois casais, o original (o X na figura indica um casal fértil) e o novo (representado por uma cruz), ainda infértil. No terceiro mês, o casal original gera mais um casal e o segundo casal fica fértil. Portanto, nesse terceiro mês teremos três casais. Agora, os dois primeiros casais estão férteis e geram, cada um, um novo casal. Dessa forma, o número de casais no quarto mês será 5. E assim por diante.

O resultado é uma seqüência de números em que cada um deles é obtido pela soma dos dois números imediatamente anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

Esta é a "seqüência de Fibonacci".

A expressão que dá o número de Fibonacci de ordem n é, simplesmente:

F ( n ) = F ( n - 1 ) + F ( n - 2 ).

Pulando mais alguns séculos chegamos a Johannes Kepler, o célebre astrônomo das três leis. Kepler notou, em 1611, que a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva ao número F quando se avança para valores cada vez maiores na seqüência. Em termos matemáticos, isto quer dizer que F(n) / F(n - 1) tende para F quando n tende para infinito. Pegue uma calculadora e verifique isso.

De modo inverso, os números de Fibonacci podem ser gerados a partir de potências de F segundo a expressão:

O interessante nessa expressão é que os números da série de Fibonacci, que são racionais, podem ser gerados de potências de F, que é irracional. Tecnicamente, diz-se que os números de Fibonacci seguem uma "lei de potência". Números com essa propriedade não são completamente aleatórios.

Outra forma de escrever o termo de ordem n da série de Fibonacci, que convido vocês a demonstrarem, está indicada na expressão abaixo. Ela ilustra, mais uma vez, a relação entre os números de Fibonacci e a razão áurea.

A seguir, vou mostrar para vocês algumas propriedades curiosas do número F.


Algumas propriedades numéricas do número F.

Propriedades geométricas do número F.

O número F na natureza.

O número F e a série de Fibonacci na física.

Roger Penrose, seus mosaicos e a consciência.