Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
O NÚMERO F e a SÉRIE DE FIBONACCI

Algumas propriedades numéricas do número F.
O número F, por si mesmo, já tem algumas propriedades curiosas. Como vimos, ele é irracional, como seu colega mais famoso, o número . Isto significa que esses números não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros. Só que, no meu modo de ver, o número F é mais sofisticado e imprevisível. Ele pode surgir de expressões matemáticas bastante curiosas. Por exemplo, considere a expressão abaixo:

Parece muito complicado, mas, na verdade, é bem fácil mostrar que esse número x é justamente nosso F. Tome o quadrado de ambos os lados dessa expressão:

Ora, como o número de raízes é infinito, o segundo termo do lado direito da equação acima é justamente x. Logo, temos:

x2 = 1 + x.

Portanto, como vimos anteriormente, resulta que x = F.

Outra expressão curiosa que leva a F é essa:

Deixo a vocês a tarefa simples de mostrar que esse x também é nosso querido F. Mas, quero aproveitar essa fração que não acaba nunca para comentar que o número F talvez seja o mais irracional dos números irracionais. Pois essa fração converge tão vagarosamente para F que parece nos mostrar a relutância de F em se associar a uma fração, mesmo que a fração não seja de inteiros.

O quadrado de F, isto é, FF, vale 2,6180339887 ...

Como vemos, o número FF é o próprio número F acrescido de 1. Além disso, o inverso de F, isto é, 1 / F é igual a 0,6180339887 ..., que é F -1 e, como vemos, é o outro f, definido anteriormente. Portanto, o número F f é igual a 1.

Podemos construir uma seqüência que chamarei de "seqüência de Fifibonacci", formada pelos quadrados dos números de Fibonacci. Ela é:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, 1156, 3025, 7921, ...

É claro que a fração entre dois números consecutivos dessa seqüência converge para o número FF = 2,6180339887 ... Deixo para vocês a tarefa de encontrar uma regra de formação para essa seqüência.

Além dessas propriedades numéricas o número F também tem algumas curiosas propriedades geométricas, como veremos a seguir.


Propriedades geométricas do número F.

O número F na natureza.

O número F e a série de Fibonacci na física.

Roger Penrose, seus mosaicos e a consciência.