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O NÚMERO F e a SÉRIE DE FIBONACCI

O número F e a série de Fibonacci na física.
Existem áreas da física onde os números de Fibonacci surgem por construção proposital e dão resultados interessantes. Veja, inicialmente, um exemplo muito simples. Temos duas placas de vidro, com índices de refração diferentes, justapostas uma sobre a outra. Um raio de luz que incida sobre esse conjunto pode sofrer reflexões e desvios. Vamos contar o número de caminhos possíveis de um raio de luz aumentando, gradualmente, o número de reflexões nesses caminhos.

Olhando a figura, podemos ver que o número de caminhos segue a seqüência de Fibonacci. Representando o número de reflexões, chamado de "geração", pela letra n, o número de caminhos será F(n), um número de Fibonacci. Por exemplo, a geração n = 4 leva a F(4) = 8 caminhos.

O físico nordestino Eudenilson Lins de Albuquerque é um especialista no estudo das propriedades físicas de camadas de materiais empilhadas segundo seqüências de Fibonacci. Dos trabalhos que ele já publicou pincei um exemplo relativamente simples.

Formam-se pilhas com camadas de dois materiais transparentes com índices de refração diferentes. A figura mostra como montar essas pilhas segundo um esquema tipo Fibonacci. Cada pilha é formada colocando-se as duas pilhas anteriores uma sob a outra.

Um problema físico interessante consiste em saber quanta luz consegue atravessar uma dessas pilhas. Isto é, procura-se saber qual é a "transmitância" T da luz através da pilha, sendo T definido como T = I / I0, onde I0 é a intensidade da luz incidente e I é a intensidade da luz que sai do outro lado da pilha.

As espessuras das camadas são feitas de modo a serem "oticamente equivalentes". Isto significa que a luz leva um tempo igual para atravessar qualquer um dos dois tipos de camada ou, o que é o mesmo, que o comprimento de onda da luz é igual em camadas de tipos diferentes. Com esse arranjo, surgem interessantes casos de interferência entre os feixes de luz que se refletem nas interfaces entre camadas vizinhas. Por exemplo, se a espessura ótica das camadas for exatamente igual a meio comprimento de onda da luz, isto é, d = l / 2, os feixes refletidos nas faces sucessivas interferem destrutivamente e se aniquilam mutuamente. Nesse caso, portanto, a transmissão de luz pelas camadas é completa, T = 1. Se a espessura das camadas for igual a um quarto de um comprimento de onda da luz, isto é, d = l / 4, os feixes refletidos se reforçam mutuamente e a transmissão é incompleta, T < 1. Para outros comprimentos de onda da luz, T varia entre esses dois valores extremos. Quando o número de camadas cresce segundo as gerações de Fibonacci, a transmissão de luz varia entre 0 e 1 de uma forma que depende da ordem na seqüência.

Essa figura, que foi adaptada de um dos trabalhos de Eudenilson, mostra como a transmissão de luz (T) varia com o comprimento de onda da luz incidente para uma pilha correspondente à geração S7, com 13 camadas. Um resultado interessante é que a forma dessas curvas de transmissão se reproduz a cada 6 gerações de Fibonacci. Isto é, essa figura também está mostrando T para uma pilha correspondente à geração S13, com 233 camadas. Basta ajustar a escala dos comprimentos de onda de forma adequada.

Sempre que surge uma reprodução de formas desse tipo diz-se que a curva estudada tem "propriedade de escala". Os físicos adoram encontrar essas "leis de escala" em seus modelos e experimentos. Esse comportamento que acabamos de relatar, talvez seja mais uma manifestação da não-aleatoriedade dos números de Fibonacci, mencionada anteriormente.

Vamos agora falar do problema de preencher um plano com mosaicos de formas arbitrárias. É um problema geométrico com implicações na física dos sólidos, como veremos. Se os mosaicos tiverem a forma de polígonos regulares, com lados e ângulos iguais, topamos logo com uma limitação. Triângulos, quadrados e hexágonos regulares podem ser usados para cobrir um plano, mas, pentágonos não servem para isso. Quando tentamos cobrir um piso com mosaicos pentagonais logo constatamos que sobram espaços vazios. Essa observação levou os cristalógrafos à conclusão de que não poderiam existir cristais onde os átomos e moléculas se ajustassem formando uma simetria pentagonal, também chamada de "simetria de ordem-5".

Mas, o plano pode ser preenchido com mosaicos não-regulares. Ou, com mais de um tipo de mosaico, com formas diferentes. O incrível pintor holandês Mauritius Escher, que uma vez me presenteou com uma de suas belas gravuras, era um mestre nessa arte de preencher planos com figuras de todo tipo. Sem a sofisticação dos quadros de Escher, podemos ver que um piso pode facilmente ser coberto, sem deixar vazios, por mosaicos hexagonais e pentagonais, em um padrão semelhante ao que vemos nas bolas de futebol.

Existe um tipo muito interessante de mosaico, inventado por um matemático inglês, que utiliza amplamente as propriedades do número F. É disso que falarei a seguir.


Roger Penrose, seus mosaicos e a consciência.