Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
O NÚMERO F e a SÉRIE DE FIBONACCI

Roger Penrose, seus mosaicos e a consciência.
O físico inglês Roger Penrose, que foi orientador do famoso Stephen Hawking, inventou um tipo de mosaico de duas formas com características aparentemente contraditórias: tem simetria de ordem-5, preenche o plano e não é periódico. Os mosaicos de Penrose são formados a partir de um triângulo isósceles de lados iguais a F.

Esse triângulo converte-se em dois, mostrados com cores diferentes na figura, dividindo-se um dos lados em uma parte que mede 1 e outra que mede F - 1. Combinando esses novos triângulos, Penrose montou dois tipos de mosaico, uma seta e uma arraia (que os sulistas chamam de pipa). Usando esses dois "mosaicos de Penrose" o plano pode ser preenchido. Mais uma vez, não preciso nem dizer como esse mosaico está repleto de proporções áureas.

É surpreendente que, se dividimos o número de arraias pelo número de setas em uma dada área do mosaico de Penrose, essa fração tende para F quando a área examinada é cada vez maior.

Os mosaicos de Penrose cobrem uma superfície plana bi-dimensional, mas, os matemáticos já acharam pares de formas volumétricas que preenchem por completo o espaço tri-dimensional. São objetos que lembram cubos com faces repuxadas, todas idênticas aos mosaicos planos de Penrose. São chamados, por causa disso, de "romboedros áureos".

O que não se esperava, porém, é que a simetria de ordem-5, presente nos mosaicos de Penrose e nesses romboedros que enchem o espaço, pudesse surgir em objetos físicos reais, como sólidos. Mas, surgiu. Na década de 80 do século passado foram descobertos certos materiais que tinham simetria de ordem-5 e um arranjo não-periódico. Foram chamados de "quase-cristais", pois têm simetria de rotação, como os cristais normais, mas, não têm simetria de translação, isto é, não possuem uma "célula" que se repete periodicamente em alguma direção espacial.

Penrose, que é um especialista em buracos-negros, inventou seus mosaicos meio de brincadeira e não esperava que eles chegassem a ser úteis na descoberta e explicação dos quase-cristais. Mais recentemente, Penrose passou a se dedicar à tarefa de procurar explicações para a consciência, essa propriedade espantosa que temos de pensar, fazer associações e buscar explicações até para a própria consciência, em um processo auto-recorrente um tanto vertiginoso. Penrose acha que a consciência pode ser o resultado de processos quânticos que têm lugar no interior dos microtubos, um emaranhado de filamentos que formam o citoesqueleto, estrutura presente em todas as células dos seres vivos. Segundo Penrose, os microtubos seriam o local mais propício para abrigar os processos quânticos que resultariam na consciência. Não creio que valha a pena entrar nos detalhes desse palpite de Roger Penrose mas cabe contar como ele envolve também os números de Fibonacci.

A parede de um microtubo é formada por colunas de unidades chamadas de "tubulins". Ao todo, um microtubo tem 13 colunas de tubulins. A disposição dos tubulins forma espirais que lembram as espirais desenhadas pelos gomos do abacaxi. Como vemos no desenho, seguindo as espirais em torno do microtubo, encontramos padrões que se repetem a cada 3, 5, 8 e 13 unidades. Todos esses números, é claro, fazem parte da seqüência de Fibonacci.

Tem gente que já sugeriu que o aparecimento dos números de Fibonacci nos microtubos não se dá por acaso. Do mesmo modo que o arranjo de Fibonacci facilita o aproveitamento da luz do sol e da água da chuva nas folhas e nos galhos das árvores, também poderia promover o fluxo de informações nos microtubos. Haja especulação, mas, pelo menos, é uma especulação excitante.

Muito mais há para contar sobre esses maravilhosos números mas acho melhor parar por aqui. Com essa introdução vocês já estão prontos para adquirir a mania de encontrar a proporção áurea e os números de Fibonacci nas coisas do mundo em que vivem. Quem sabe, até descobrir novas associações ainda desconhecidas. Além disso, existem outros números interessantes, além do número F, que são objeto de vários textos nesse mesmo local. Sugiro que vocês leiam sobre eles.