Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
A CURVATURA DE GAUSS E O NÚMERO DE EULER

O que é a curvatura?

O que faz a reta (A) ao lado ser diferente da outra curva (B)? É fácil: a curva (B) é "encurvada" e a reta não é. A curva (B) deve ter alguma propriedade que a reta não tem. Você adivinhou, essa propriedade é a curvatura. A reta tem curvatura zero e a curva tem curvatura diferente de zero. Só falta achar um jeito de medir essa curvatura, dar a ela uma noção mais precisa e válida para qualquer ponto de qualquer curva.

Existe uma curva muito simples e bela cuja curvatura é obviamente igual em todos seus pontos: a circunferência. Vamos, então, dar um valor para a curvatura da circunferência. Como também é evidente que uma circunferência menor é mais encurvada que outra maior, fica claro que a curvatura deve ser inversamente proporcional ao raio. Isto é, a curvatura C de uma circunferência de raio R será dada por C = 1 / R. Quanto maior o raio, menor a curvatura.

Muito bem, sabemos medir a curvatura da circunferência. Mas, e se a curva for mais variada, como essa aí em cima? É claro que essa curva não tem curvatura constante; no lado esquerdo a curvatura deve maior que no lado direito. Temos, portanto, de achar um jeito de saber a curvatura em cada um dos pontos da curva, já que ela não é constante. Para isso, apelaremos para a curvatura da circunferência (C = 1/R).
Para achar a curvatura da curva em um ponto P faremos o seguinte: desenhamos uma circunferência no lado côncavo da curva de tal modo que o único ponto em comum entre a curva e a circunferência seja o próprio ponto P. Provavelmente existem várias circunferências com essa característica mas tomamos aquela que tem o maior raio possível. O matemático que deu um nome a essa circunferência (parece que foi Leibnitz) devia estar apaixonado pois chamou-a de "círculo osculante", isto é, o círculo que beija a curva. Lindo nome.

Desse modo, a curvatura da curva no ponto P será igual à curvatura do círculo osculante nesse mesmo ponto onde se beijam. No caso da figura ao lado, será C = 1 / R, pois R é o raio do círculo osculante.

Como a curvatura é o inverso do raio, a unidade de curvatura é o inverso do metro e se chama dioptria. Essa dioptria é o popular "grau" dos óculos (1 grau = 1 dioptria). Por exemplo, uma lente de óculos com 0,5 graus, ou 0,5 dioptrias, tem raio de curvatura igual a 2 metros. Aliás, Gauss também deu importantes contribuições à óptica, tendo até escrito um livro intitulado "Investigações Dióptricas".

E se, em vez de uma curva, tivermos uma superfície - como medir sua curvatura? Essa superfície vista ao lado, uma chapa de metal, por exemplo, está claramente encurvada, logo, queremos determinar uma curvatura em cada ponto dela. Será que existe uma "esfera osculante" cujo raio é o inverso da curvatura? Veja no próximo episódio.


2 - A curvatura de uma superfície.

3 - Como saber se o espaço é curvo.

4 - A curvatura de Gauss em uma superfície.

5 - O número de Euler e a topologia.

6 - O teorema de Gauss-Bonnet.