Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
A CURVATURA DE GAUSS E O NÚMERO DE EULER

A curvatura de uma superfície.

Resposta para a pergunta do capítulo anterior: não. O motivo de não podermos usar uma esfera osculante para medir a curvatura de uma superfície é fácil de ser entendido. Considere um ponto P qualquer da superfície. Por esse ponto passa uma infinidade de curvas diferentes e cada uma delas tem um círculo osculante próprio e, portanto, uma curvatura diferente das demais. Uma esfera osculante teria o mesmo raio que algum desses círculos osculantes. Mas, qual deles seria o escolhido? Essa ambiguidade na escolha mostra que temos de achar outra forma de definir a curvatura em um ponto da superfície curva.

Vejamos como é definida a curvatura de Gauss em um ponto P qualquer da superfície. Fazemos um plano cortar a superfície no ponto P. A interseção do plano com a superfície é uma curva. Achamos a curvatura dessa curva desenhando o círculo osculante à curva que está contido no plano. Vamos então testando vários planos até que achamos aquele que contém o menor círculo osculante possível, isto é, aquele que tem o menor raio. No desenho ao lado, vamos supor que esse plano seja o Plano 1. Portanto, a curva azul será a curva de maior curvatura entre aquelas que estão na superfície e que passam por P. Repetimos o processo até achar a curva de menor curvatura, no desenho representada em vermelho. Digamos, então, que a curvatura máxima seja C1 e a curvatura mínima seja C2. Pois bem, a curvatura de Gauss no ponto P será, pura e simplesmente, o produto das curvaturas C1 e C2. Isto é:

C = curvatura de Gauss = C1 x C2.

Desse modo, podemos achar a curvatura de Gauss em qualquer ponto da superfície. Por exemplo, se a superfície for um plano, todas as interseções de planos que passam por P serão retas, logo, terão curvatura nula. Portanto, o plano tem curvatura de Gauss nula.
A curvatura de Gauss pode ser positiva, negativa ou nula. Será positiva se as curvas de máxima e mínima curvatura forem encurvadas para o mesmo lado. Nesse caso, os dois círculos osculantes ficam no mesmo lado da superfície. Esse é o caso da superfície (A) vista abaixo. Será negativa se uma curva for encurvada para um lado e a outra, para o outro. Isto é, se os círculos osculantes ficam em lados opostos. É o caso da superfície (B), que parece uma sela. E é nula se pelo menos uma das curvas for reta, isto é, tiver curvatura zero. É o caso do cilindro (C), na figura. E é o caso também da chapa de metal mostrada na apostila anterior.

A grande vantagem dessa curvatura de Gauss, além da simplicidade da definição, é a seguinte: ela pode ser observada e medida sem precisar apelar para os círculos osculantes fora da superfície. Isto é, ela pode ser medida sem sair da própria superfície. É claro que isso implica em outra forma de definí-la, como veremos a seguir.


3 - Como saber se o espaço é curvo.

4 - A curvatura de Gauss em uma superfície.

5 - O número de Euler e a topologia.

6 - O teorema de Gauss-Bonnet.