Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
A CURVATURA DE GAUSS E O NÚMERO DE EULER

Como saber se o espaço é curvo.

Gauss mostrou que a curvatura de uma superfície é uma propriedade intrínseca. Isso quer dizer que é possível saber se o espaço onde se vive é curvo ou plano sem precisar sair dele, apelando para alguma dimensão extra. Em outras palavras, os círculos osculantes usados anteriormente para definir a curvatura e que estão fora da superfície são desnecessários para se medir a curvatura. Gauss mostrou isso em um teorema e ficou tão orgulhoso de seu resultado que chamou o teorema de "Teorema Egregium", que aqui em Sobral seria traduzido como "Teorema Arretado". A demonstração desse teorema é muito técnica para ser mostrada aqui, mas, podemos ilustrar seu significado com exemplos visuais.
Imagine uma civilização de seres bidimensionais (os chatóides) que habitam uma enorme superfície esférica.
Confinados em seu espaço, os chatóides ignoram a existência de outra dimensão que nós, seres tridimensionais, sabemos existir. Os chatóides descobriram um grande número de propriedades geométricas em seu espaço e sabem fazer medidas de distâncias, ângulos e áreas. Por exemplo, desenhando três segmentos de reta que formam um triângulo eles verificam que a soma dos ângulos internos é 180o (ou ).
E dividindo o comprimento de uma circunferência por seu raio eles acham 2. Assim, os geômetras chatóides concluem: "ao que parece, vivemos em um espaço plano".

Entretanto, com o desenvolvimento da tecnologia chatóide, eles começam a explorar o universo onde vivem, indo cada vez mais longe. E repetem suas medidas, só que agora com triângulos e circunferências cada vez maiores. Por exemplo, três astronautas chatóides formam um enorme triângulo enviando feixes de laser uns aos outros. Nada mais reto que um raio de luz, dizem os chatóides. Cada qual mede o ângulo entre o feixe que enviou e o que recebeu. Quando se reunem para comparar suas medidas têm uma surpresa: a soma dos três ângulos é maior que 180o! Desconfiando da qualidade da luz de seus lasers, usam cabos bem esticados entre três pontos fixos muito distantes uns dos outros e chegam ao mesmo resultado.
Nesse ponto, eles começam a achar que o espaço onde vivem não é plano. Na verdade, eles podem até calcular qual é a curvatura do espaço, usando a soma dos ângulos que obtiveram.

Em outra experiência eles traçam uma grande circunferência: um astronauta A vai a uma grande distância R da base B mantendo um enorme cabo esticado.
Deslocando-se sempre perpendicularmente ao cabo esticado, percorre uma gigantesca circunferência com centro em B. Depois, dividindo o comprimento do perímetro L pelo raio R eles acham, como já desconfiavam, um valor menor que 2. Com seus conhecimentos avançados de geometria não-Euclideana, os chatóides reconhecem que moram em um espaço curvo e calculam a curvatura de Gauss desse espaço.

Nós vivemos em um espaço tridimensional. Será que nosso espaço é curvo? Ora, dirá você, basta fazer um enorme triângulo de feixes de laser e verificar se a soma dos ângulos é igual, maior ou menor que 180o. Infelizmente, nossa tecnologia é inferior à tecnologia dos chatóides e não sabemos ainda se nosso universo é plano ou curvo. Boa parte dos cosmologistas acha que é plano mas, por enquanto, isso não está inteiramente comprovado. Em outra ocasião poderemos conversar mais sobre a curvatura do universo.

Experiências como essas descritas acima podem mostrar se o espaço é curvo ou não e são suficientes para medir a curvatura sem apelar para uma dimensão extra. O "teorema arretado" de Gauss mostra como isso é feito. Como disse antes, não estou a fim de entrar nessas minúcias técnicas, mas, ainda quero mostrar a vocês um bocado de resultados bem divertidos, relacionados com a curvatura de Gauss e com um número inventado por Euler. O melhor está por vir.


NOTA do EDITOR: Embora a autora evite usar fórmulas mais complicadas em seu texto, damos abaixo, em benefício de leitores com gosto para a matemática, a definição da curvatura de Gauss em um ponto P de uma superfície, usando a medida do raio R e do perímetro L(R) de uma circunferência desenhada sobre a superfície:

Se a superfície for plana, a curvatura é zero pois L(R) = 2R. Se for esférica, o limite dá uma curvatura constante, igual a 1/R.


4 - A curvatura de Gauss em uma superfície.

5 - O número de Euler e a topologia.

6 - O teorema de Gauss-Bonnet.