Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
A CURVATURA DE GAUSS E O NÚMERO DE EULER

A curvatura de Gauss em uma superfície.

A curvatura de Gauss descrita na apostila anterior é local, isto é, vale para um ponto da superfície. Mas, queremos saber, também, como medir a curvatura de toda a superfície ou, pelo menos, de uma parte dela. Veremos agora como fazer uma medida dessas. Só assim poderemos falar da curvatura do espaço em que vivemos, como um todo. Talvez até medir a curvatura de todo o universo.

Imagine uma superfície qualquer S que não tenha furos. Trace, sobre ela, uma curva que delimita uma região fechada M na superfície. Vamos mostrar como calcular a curvatura de Gauss dessa região.
Em cada um dos pontos da curva que contorna M imagine uma seta perpendicular à superfície nesse ponto. Essas setas deverão ter comprimento igual a 1 e, sendo a superfície curva, apontarão para direções variadas. Se você quiser, pode chamar cada seta dessas de vetor normal. Agora, faça o seguinte (mentalmente): pegue todas as setas e junte-as pelas extremidades em um único ponto C do espaço. Você terá formado um "buquê" de setas. E como todas têm o mesmo comprimento unitário, suas pontas estarão sobre uma parte da superfície de uma esfera de raio unitário que é mostrada com cor amarela na figura. Em termos mais técnicos, fizemos um mapeamento da região M sobre a esfera unitária. Aliás, foi estudando mapas e globos terrestres que Gauss começou tudo isso.

Pois bem: Gauss mostrou que o valor da área dessa região amarela mede a curvatura da região M da superfície curva. Veja que estamos falando de curvatura de toda uma região e não apenas de um ponto da superfície. Com essa definição, poderemos achar a curvatura total de qualquer superfície, aberta ou fechada.

Vejamos dois exemplos simples: um plano (superfície aberta) e uma esfera (superfície fechada). Traçando qualquer curva sobre o plano e juntando todas as setas normais no centro da esfera unitária o resultado é apenas um ponto nessa esfera unitária. Isto é, a região "mapeia" sobre um único ponto na esfera unitária (o "buquê" é só uma haste). E, como um ponto não tem área, isso significa que a curvatura do plano é zero, o que já sabemos de longas datas. Na outra figura, vemos que todos os vetores normais à superfície da esfera "mapeiam" sobre toda a superfície da esfera unitária. Portanto, como a área da esfera unitária é
4 (1)2 = 4, essa é a curvatura total da esfera (qualquer esfera).

É moleza achar a curvatura de planos e esferas. Vamos ver, agora, como resolver casos mais elaborados usando esse processo de mapeamento sobre uma superfície que tem "bicos" ou "vértices". A superfície que vamos usar é uma pirâmide com três lados mutuamente perpendiculares, como visto na figura. Todas as setas apoiadas na face P "mapeiam" em um único ponto (P) sobre a esfera unitária. Do mesmo modo, as setas sobre o lado R mapeiam no ponto R e as setas no lado Q, no ponto Q. Mas, ao passar por uma aresta uma seta faz um giro de 90o e o mapeamento desses giros sobre a esfera unitária são os arcos que vão de P a Q , de P a R e de R a Q. Portanto, segundo Gauss, a curvatura da superfície da pirâmide é a área amarela vista na figura da esfera unitária. Essa área, como é fácil de ver, mede 1/8 da área total da esfera unitária, logo, vale 4/8 = /2.

Portanto, qualquer vértice, ou bico, entre três superfícies mutuamente perpendiculares tem curvatura /2. Esse é o caso de qualquer um dos 8 vértices do cubo. Logo, a curvatura do cubo é 8 x /2 = 4 . Isto é, o cubo tem a mesma curvatura que a esfera, embora a esfera seja toda gordinha e o cubo todo quadradão. Os matemáticos dizem que ambos pertencem à mesma tradicional família topológica. Se você quer se exercitar nessa matéria, mostre que o mesmo é verdade para qualquer poliedro regular (tetraedro, dodecaedro etc).

Bem, essa história de família topológica é a dica para nosso tema da próxima apostila. Veremos como o trabalho de Gauss se entrelaçou de forma inesperada com os achados do grande matemático Euler.


5 - O número de Euler e a topologia.

6 - O teorema de Gauss-Bonnet.