Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
A CURVATURA DE GAUSS E O NÚMERO DE EULER

O número de Euler e a topologia.

O grande matemático Leonhard Euler foi, para todos os efeitos, quem inaugurou um ramo da matemática chamado topologia. Vamos agora falar de um dos teoremas topológicos de Euler.

NOTA DO EDITOR: Veja em <TRÊS GRANDES MATEMÁTICOS mais informações sobre Euler e a topologia.

Considere um objeto tridimensional bem simples: um cubo. O cubo tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Vamos chamar o número de faces de F, o número de arestas de A e o número de vértices de V (muito imaginativo...).

Euler inventou um número, que chamamos de número de Euler (E), definido assim:

E = F - A + V.

Portanto, o número de Euler do cubo é:
E(cubo) = 6 - 12 + 8 = 2.

O teorema de Euler diz que o número de Euler é constante para uma superfície qualquer. Isso quer dizer o seguinte: suponha que você divide cada face do cubo em 4 partes, traçando 2 segmentos de reta perpendiculares entre si, como vemos na figura.Agora, pontos como (A) ou (B) serão considerados novos vértices, linhas como (AB) serão novas arestas e áreas como (ABCD), novas faces. Pois conte (CONTE!) os novos números de faces, arestas e vértice. Você obterá: F´ = 24, A´ = 48 e V´ = 26. E, terá:

E´ = F´ - A´ + V´= 24 - 48 + 26 = 2 = E.

O resultado é o mesmo de antes. Pois acredite: mesmo se você desenhar linhas malucas sobre o cubo, criando uma porção de novas arestas, vértices e faces, obterá sempre o mesmo número de Euler: 2.

Acho que ninguém vai se admirar, a essa altura, ao constatar que o número de Euler continuará o mesmo até quando o cubo for deformado como mostra a figura. E a deformação pode ser tal que o cubo acabe virando uma jeitosa esfera (mudança de sexo) ou mesmo uma batata toda encalombada.

Tecnicamente, diz-se que o cubo, a esfera e a batata são todas superfícies topologicamente idênticas. Todas têm o mesmo número de Euler: 2.

Imagine que o cubo é feito de massa de moldar, dessa que as crianças adoram. Com jeito, é possivel transformá-lo em uma esfera, uma pirâmide ou uma batata doida sem rasgar nem cortar nada. Isso só é possível com objetos topologicamente iguais.

A coisa muda se o objeto tiver um furo. O objeto furado mais amado pelos matemáticos é o toro, essa coisa com forma de rosquinha do Piaui que vemos na figura ao lado. (Talvez essa minha opinião sobre os matemáticos seja um pouco exagerada...)

Se a gente fizer sobre a superfície do toro o mesmo que fizemos sobre a superfície do cubo (traçando linhas que formam faces, arestas e vértices) e depois fizermos as contas, acharemos um número de Euler nulo! Isto é: E(toro) = 0.

O toro, e qualquer superfície com um furo, é topologicamente diferente do cubo e da esfera. Não dá para transformar uma esfera de massa em um toro sem cortar ou rasgar alguma coisa.

Talvez você tenha estranhado que o toro tenha curvatura zero, quando ele nos parece bem encurvadinho. É óbvio que a curvatura local do toro não é zero em todos os pontos. O que é zero é a curvatura total do toro.

Considere um corte no toro resultando no círculo ABCD. Os pontos que ficam no lado de fora (ABC), menos os extremos A e C, têm curvatura positiva. Os pontos que ficam no lado de dentro (ADC) têm curvatura negativa. E os pontos A e C têm curvatura nula. Computando tudo, achamos a curvatura total zero.

Quando a superfície tem buracos a expressão para o número de Euler fica sendo:

E = F - A + V = 2 - 2 x B,

sendo B o número de buracos ou furos na superfície. Para uma esfera ou um cubo, B = 0, logo, E = 2. Para o toro, B = 1, logo, E = 0. Com mais de um buraco, o número de Euler fica negativo.

E qual é a relação entre o número de Euler e a curvatura de Gauss? É o que veremos na próxima apostila.


6 - O teorema de Gauss-Bonnet.