Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
A CURVATURA DE GAUSS E O NÚMERO DE EULER

O teorema de Gauss-Bonnet.

A curvatura de Gauss (G) e o número de Euler (E) estão ligados pelo conhecido Teorema de Gauss-Bonnet, que diz:

G = 2 E = 2 (2 - 2 . B) .

Como você deve lembrar, B é o número de buracos na superfície. Para uma esfera, B = 0, logo, E = 2 e G = 4 . Para o toro, B = 1, logo E = 0 e G = 0.

A maravilha desse teorema é que ele liga uma propriedade geométrica, a curvatura de Gauss, com uma propriedade topológica, o número de Euler. E tudo de uma forma muito simples.

Para melhor apreciar o significado desse teorema vamos voltar à pirâmide de três faces. Primeiro, medimos os três ângulos das face com um transferidor e somamos os três. Depois, calculamos quanto falta a essa soma para completar 360o. Esse valor será chamado de "ângulo faltante". Isto é, o ângulo faltante no vértice da pirâmide é .

Se a gente fizer isso no vértice de um cubo, vamos achar .

Esse resultado para o ângulo faltante no vértice do cubo fica mais claro se você cortar uma aresta e espalhar os três lados sobre uma mesa, como mostra a figura.

Portanto, o ângulo faltante em cada vértice do cubo é /2. O ângulo faltante total (que chamaremos de T), para o cubo, será, portanto: 8 x /2 = 4 . Esse valor, como já sabemos, mede a curvatura de Gauss do cubo! E isso vale não apenas para o cubo: vale para qualquer objeto geométrico. Portanto, o teorema de Gauss-Bonnet pode ser resumido como:

O ângulo faltante de uma superfície é igual à curvatura de Gauss dessa superfície.

Usando o teorema de Gauss-Bonnet podemos medir experimentalmente a curvatura de Gauss de qualquer parte de qualquer superfície. Digamos, por exemplo, que queremos medir a curvatura de uma parte da superfície de uma batata. Fazemos o seguinte: traçamos, com uma caneta, uma curva sobre a casca da batata. Depois, com a ponta de uma faquinha bem afiada, cortamos a casca em torno da curva formando uma tira, como mostram as linhas pontilhadas. Puxamos a tira com muito cuidado para não rasgar, cortamos em qualquer ponto e apoiamos sobre a superfície de uma mesa plana. É provável que as pontas da tira não fechem, fazendo um ângulo que medimos com um transferidor. Esse é o ângulo faltante da superfície da batata contida dentro da curva. Logo, pelo teorema que acabamos de aprender, esse ângulo mede a curvatura dessa parte da batata. Se o ângulo for como visto na figura (A), a curvatura é positiva. Se for como na figura (B), é negativa. Se as pontas fecharem, a curvatura é nula. Isso acontece se fizermos o mesmo procedimento em uma superfície plana.

Bem, isso encerra nosso passeio pela geometria de Gauss e a topologia de Euler. Resta dizer que, muitos anos depois, esses belos achados foram ( e continuam sendo) usados pelos físicos no estudo da curvatura do nosso espaço tridimensional. Einstein mostrou que essa curvatura depende da quantidade de matéria e energia que está presente nesse espaço. Perto de uma grande estrela, como o nosso velho Sol, por exemplo, a massa encurva o espaço e um raio de luz que passe por ali será desviado. Isso foi comprovado, experimentalmente, aqui mesmo em Sobral, onde estou nesse momento. E eu tive o privilégio de presenciar esse momentoso evento, levada pela mão de meu saudoso pai. Mas, essa é outra história que posso contar noutra ocasião.