Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS


O quinto postulado dos Elementos de Euclides.


Cerca de 300 anos antes de Cristo, Alexandre da Macedônia fundou, no delta do rio Nilo, a cidade de Alexandria. Com uns trinta anos de fundada, Alexandria já tinha cerca de meio milhão de habitantes. Foi quando lá chegou um cidadão chamado Euclides, atraído pela já famosa biblioteca da cidade. E foi lá que ele escreveu um livro, os ELEMENTOS, tão importante na história da cultura humana quanto as obras de Homero, Platão e Aristóteles. Nesse livro, que foi, e ainda é, lido e estudado por toda a comunidade de matemáticos, Euclides desenvolve toda a estrutura da geometria e da teoria de números como era conhecida na época. E já no início do livro, após algumas definições e axiomas relacionados a objetos elementares como pontos, retas, círculos etc, Euclides apresenta cinco postulados fundamentais.

A palavra "postular" significa "pedir". Portanto, postulados são pedidos para a gente aceite, independentemente de provas formais, uma determinada afirmação como sendo verdadeira. Sendo aceito, o postulado passa a ser usado para demonstrar outras afirmações menos básicas, os "teoremas".

Os quatro primeiros postulados de Euclides são fáceis de aceitar. Eles dizem:

1) Por entre dois pontos é possível traçar uma reta.

2) Uma reta pode ser estendida indefinidamente para os dois lados.

3) Dado um centro e um raio, é sempre possível traçar um círculo.

4) Todos os ângulos retos são iguais entre si.

Ninguém implica com esses postulados pois eles são simples de entender e fáceis de aceitar. Não é assim com o quinto postulado que diz:

5) Se duas retas (A e B) em um plano são interceptadas por outra reta C tal que os ângulos (a e b) de um mesmo lado de C somam um valor menor que 180o, então as retas A e B, quando prolongadas do lado dos ângulos a e b, irão se encontrar em algum ponto.

Os matemáticos, desde o início, acharam que esse postulado tinha cara de teorema. Isto é, talvez fosse possível demonstrá-lo usando os postulados anteriores e as definições básicas. Durante séculos, inúmeros matemáticos, alguns altamente competentes, tentaram achar uma demonstração para o Quinto Postulado, sempre sem sucesso. Em geral, quando alguém pensava que tinha "provado" o postulado, logo se descobria que a "demonstração" apenas trocava o enunciado original por outro equivalente. Por exemplo, o Quinto Postulado equivale a dizer que a soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus. Portanto, provar o postulado usando esse fato não estará provando nada.

Nas próximas apostilas, vou contar em que deram essas tentativas de provar o Quinto Postulado de Euclides. Vocês vão ver que elas acabaram levando os matemáticos à surpreendente descoberta de que a geometria do velho Euclides não é a única possível.


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