Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS


As atribulações de padre Saccheri.


A vida do padre jesuíta Girolamo Saccheri (1667-1733) seria um prato cheio para os charlatães que escrevem livros de auto-ajuda se eles a conhecessem. O bom padre passou a vida perseguindo um objetivo: provar o Quinto Postulado dos Elementos de Euclides. Morreu decepcionado por não ter conseguido sucesso. E, no entanto, seu esforço não foi em vão pois suas pesquisas geométricas levaram, muitos anos depois, ao surgimento das geometrias não-euclidianas. No final, não conseguiu o que queria mas desvendou algo muito mais profundo.

Saccheri era um intelectual de primeira linha. Ensinou matemática, filosofia e, principalmente, teologia em várias universidades. Era também exímio enxadrista. Mas tinha, como objetivo primeiro na vida, provar o Quinto Postulado. Em 1733, ano de sua morte, publicou um livro intitulado "Euclides sem falhas: um trabalho que estabelece os princípios de uma geometria universal". Esse título já dá a entender que Saccheri tinha perfeita noção do impacto de seu trabalho. Por outro lado, deixou para publicá-lo já no fim da vida, consciente de que estava apresentando alguma coisa muito avançada para seu tempo. Sua condição de jesuíta também não estimulava a defesa de teses revolucionárias. Como vamos ver a seguir, ele próprio chegou a duvidar do que estava demonstrando e evitou seguir a rota que desbravou até seu final grandioso.

O livro de Saccheri demonstra, corretamente, algumas dezenas de teoremas geométricos sempre com a intenção de, no final, demonstrar o Quinto Postulado. Para isso, ele usou uma variação equivalente do enunciado original.

Imagine uma figura geométrica formada por quatro lados (um quadrilátero). Os ângulos da base, A e B, são retos e os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento.

Pois bem, o Quinto Postulado exige que o topo CD seja igual à base AB e que os ângulos C e D também sejam retos. Isto é, se Euclides estiver certo, essa figura tem de ser um retângulo. Portanto, para provar o Quinto Postulado basta provar que o quadrilátero de Saccheri é um retângulo.

Essa foi a missão que Saccheri encarou: provar que seu quadrilátero tinha de ser um retângulo. Saccheri gostava de usar um método de demonstração segundo o qual "negar a negação de uma proposição prova a proposição". O próprio Euclides já usara esse método. No caso de seu quadrilátero, Saccheri contemplou 3 possibilidades:

1) Caso OBTUSO: os ângulos C e D são maiores que 90o.

2) Caso EUCLIDIANO: os ângulos C e D são retos.

3) Caso AGUDO: os ângulos C e D são menores que 90o.

A esperança do jesuíta era conseguir mostrar que os casos OBTUSO e AGUDO levariam a contradições inaceitáveis e se reduziriam, pela força da lógica, ao caso EUCLIDIANO.

Levando avante esse projeto ele passou a demonstrar teoremas e mais teoremas, mas, para sua surpresa e frustração, não encontrava nenhuma falha lógica nos casos OBTUSO e AGUDO. Para ilustrar a situação em que ele se encontrou, vou mostrar a vocês alguns dos resultados que ele obteve. Veja, por exemplo, o segundo teorema do livro:

Teorema 2: "A linha EF que une o meio da base AB ao meio do topo CD do quadrilátero é perpendicular à base e ao topo.

O essencial, na prova desse teorema, é não usar a hipótese de que CD=AB, pois isso só vale no caso euclideano.

Temos, então, a seguinte seqüência de resultados:

1) Construimos as linhas CF e DF.

2) O ângulo A é igual ao ângulo B, ambos ângulos retos, por construção. Logo, o triângulo CAF é igual ao triângulo DBF. Logo:

3) O triângulo CEF é igual ao triângulo DEF. Logo:

4) O ângulo CEF é igual ao ângulo DEF. Mas, a soma desses dois ângulos é 180o. Logo:

5) O ângulo CEF e o ângulo DEF valem, cada um, 90o. CQD

Como você deve ter notado, a hipótese de que CD = AB foi desnecessária para provar esse teorema. Isto é, ele vale sem precisar do Quinto Postulado. Portanto, vale para os três casos, OBTUSO, EUCLIDIANO E AGUDO.

Esse tipo de coisa se repete para todos os teoremas que Saccheri tenta e consegue demonstrar em seu livro. Logo no teorema seguinte ele mostra que:

Teorema 3: "O topo CD é MENOR que a base AB, no caso OBTUSO, IGUAL no caso EUCLIDIANO e MAIOR que ela, no caso AGUDO.

Não vou reproduzir aqui a demonstração desse teorema pois é um pouco longa. Mas, podem crer que ela não usa o Quinto Postulado nem tem nenhuma incoerência.

Mais adiante, em seu nono teorema, Saccheri chega a um resultado fundamental:

Teorema 9: "A soma dos ângulos de um triângulo é maior que 180o no caso OBTUSO, igual a 180o no caso EUCLIDIANO e menor que 180o no caso AGUDO".

Essa demonstração é simples se usarmos o teorema 3. Vou mostrar apenas o caso AGUDO.

1) No caso AGUDO, CD > AB, como vimos no Teorema 3. Logo:

2) O ângulo g é MAIOR que o ângulo b. Logo:

3) a + b + B < g + a + B.

4) Como a + g + B = 180o, por construção, temos:

5) a + b + B < 180o. CQD

Desse modo, Saccheri prosseguiu demonstrando seus teoremas sem nunca usar o Quinto Postulado e sem topar com nenhuma inconsistência nos casos AGUDO e OBTUSO. Para todos os efeitos, ele estava demonstrando que o Quinto Postulado só é imprescindível no caso EUCLIDIANO.

Por alguma razão, porém, Saccheri fraquejou. No seu Teorema 33 ele diz, meio desconcertado, que está demonstrando algo que "é contrário ao que se entende intuitivamente por linha reta". Talvez por medo de estar cometendo algum engano só publicou seu livro no último ano de sua vida. Nunca soube que abrira as portas para outras geometrias até então desconhecidas.


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