Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS


Riemann, Beltrami e as geometrias não-euclidianas.


No início do século 19 ainda não estava claro se o Quinto Postulado tinha validade absoluta ou se podia ser desobedecido em geometrias alternativas. Os trabalhos de Saccheri e Bolyai eram praticamente ignorados e as idéias de Lobatchevski eram tidas como absurdas por muitos matemáticos. Nessa época, o grande matemático alemão Bernhard Riemann chamou a atenção para uma falha cometida por Euclides, Saccheri e os outros pioneiros. É que eles sempre admitiam, sem contestar, que uma reta tem de ser infinita e ilimitada. Isso é dito no Segundo Postulado de Euclides e significa que, se um cidadão começasse a viajar em linha reta, seguindo a trajetória de um raio de luz, nunca chegaria ao fim da linha, mesmo se fosse eterno. Talvez isso valha apenas para o espaço euclideano e não seja necessário em outros espaços, sugeriu Riemann. Deixando de lado essa restrição, Riemann mostrou que podia criar uma geometria na qual a soma dos ângulos de um triângulo era MAIOR que 180 graus. Essa geometria corresponde perfeitamente ao caso OBTUSO de Saccheri.

Finalmente, em 1868, outro matemático italiano, Eugênio Beltrami, publicou um livro no qual, para todos os efeitos, fechou o ciclo dessas elocubrações. Nesse livro, chamado de "Ensaio sobre a interpretação de uma geometria não-euclidiana", Beltrami descreve detalhadamente uma geometria perfeitamente lógica na qual a soma dos ângulos de um triângulo é MENOR que 180 graus. Com isso, obtinha o terceiro caso de Saccheri, o caso AGUDO.

Outros nomes mais descritivos foram então sugeridos para essas geometrias. São eles:

1) Geometria "elíptica", do tipo descrita por Riemann e correspondente ao caso OBTUSO de Saccheri.

2) Geometria "plana", correspondente à velha e boa geometria de Euclides.

3) Geometria "hiperbólica", descrita por Lobatchevski e Beltrami e correspondente ao caso AGUDO de Saccheri.

Os pioneiros não dispunham de modelos visuais para seus teoremas pois ainda estavam presos aos métodos de Euclides. Mas, com as sistematizações de Riemann e outros, ficou bem mais fácil para nós, humildes habitantes de um mundo aparentemente euclideano, enxergar de alguma forma como seriam essas outras geometrias.

A GEOMETRIA ELÍPTICA, que tem como caso particular a GEOMETRIA ESFÉRICA, pode ser visualizada pelo ponto de vista dos "chatóides" habitantes de um mundo de duas dimensões restrito à superfície de uma gigantesca esfera. Para esses chatóides, uma "reta", isto é, a menor distância entre dois pontos, deve ser o segmento de um grande círculo que passa pelos pontos e cujo raio é o próprio raio da superfície esférica.

Hoje, com a rotina dos vôos internacionais, essa noção de "reta" ficou corriqueira. Um avião que vai de Fortaleza a Lisboa, sem escalas, não segue uma reta (em azul) traçada no mapa-mundi. Segue a trajetória (em vermelho) correspondente a um segmento de círculo máximo entre as duas cidades. Os chatóides e os pilotos concordam que essa é que é a "reta" real, pois é o caminho mais curto entre os dois pontos, seguindo a superfície terrestre.

Nessa geometria elíptica o Quinto Postulado de Euclides sofre um baque. Como uma "reta" é um círculo máximo somos levados às seguintes constatações surpreendentes.

1) Uma "reta" nessa geometria é ilimitada mas não é infinita. Um chatóide dessa geometria que saísse em linha reta seguindo a trajetória de um raio de luz acabaria, eventualmente, voltando ao ponto inicial, supondo que vivesse o tempo suficiente para toda a viagem. Foi essa a observação fundamental de Riemann, como contei acima.

2) Por um ponto P qualquer, fora de uma reta L, não passa nenhuma reta paralela a L!

Quer dizer, o Quinto Postulado é violado POR BAIXO. Isso é fácil de entender pois todos os círculos máximos de uma superfície esférica sempre se cruzam em pelo menos dois pontos.

3) A soma dos ângulos de um triângulo na geometria elíptica é MAIOR que 180 graus.

Na figura, a + b + g > 180o.

Portanto, essa geometria corresponde ao caso OBTUSO do padre Saccheri. É notável lembrar que o esperto jesuíta intuiu esse resultado sem dispor desse tipo de visualização facilitadora criada, muito depois, por Riemann e outros.

Quem já leu minha apostila sobre a curvatura de Gauss, já sabe que esse espaço esférico tem curvatura positiva. Isso significa que esse tipo de espaço é encurvado para dentro, isto é, para o lado do raio da esfera.

Não preciso falar sobre a geometria PLANA pois ela corresponde à nossa familiar geometria euclidiana que todo estudante aprende na escola desde tempos remotos. Basta lembrar que nela o Quinto Postulado é obedecido sem problemas. E que tem CURVATURA NULA, isto é, o espaço é PLANO, não se encurva nem para dentro nem para fora em nenhum ponto.

A geometria HIPERBÓLICA, prevista inicialmente por Bolyai e Lobatchevski e desenvolvida por Beltrami, é a mais interessante das três, no meu modo de ver. Por isso, vou dedicar a ela toda a próxima apostila. Antes, quero só dizer que ela corresponde ao caso AGUDO de Saccheri e que tem curvatura negativa. Isto é, o espaço encurva-se para fora. A seguir, vou esclarecer melhor o que isso quer dizer.


A geometria hiperbólica e a pseudo-esfera.

O disco de Poincaré e as gravuras de Escher.

Qual é a geometria do Universo?