Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS


A geometria hiperbólica e a pseudo-esfera.


Vimos, na apostila anterior, que a geometria elíptica pode ser visualizada, em duas dimensões, através da superfície de uma esfera (ou elipsóide) com curvatura positiva. A geometria hiperbólica, por sua vez, deve ser representada por uma superfície com curvatura negativa. Apesar do seu nome, as melhores escolhas para isso não envolvem uma hipérbole.

Uma superfície que atende esse requisito é essa, vista na figura ao lado, que parece uma sela. Dá para ver que, em qualquer ponto dessa superfície, duas curvas se cruzam com curvaturas para lados opostos. Isso faz a curvatura de Gauss ser negativa, como já sabemos.

Beltrami usou outra superfície mais conveniente que a sela para representar a geometria hiperbólica. Ele chamou essa superfície de pseudo-esfera, por razões que logo ficarão evidentes, e mostrou que ela exibe as propriedades requeridas pela geometria hiperbólica de curvatura negativa. Isto é, em qualquer ponto da pseudo-esfera, do mesmo modo que na sela, curvas se cruzam com curvaturas em sentidos opostos. É possível ver isso na figura ao lado que mostra um modelo da pseudo-esfera.

Deixe-me explicar como se obtém essa superfície. Começamos traçando uma curva chamada "tractriz", usando o seguinte procedimento.

Imagine um carrinho C percorrento uma linha reta sobre o tampo de uma mesa. Na traseira do carrinho amarra-se um cordão bem esticado, inicialmente perpendicular à reta que o carrinho percorre. Na ponta desse cordão põe-se um pequeno disco que deixa um rastro pela mesa ao deslisar sobre ela. Pois bem, puxando-se o carrinho o rastro traçado pelo disco é uma tractriz, nome bem apropriado, portanto.

Depois, fazemos a tractriz girar em torno da reta pontilhada e obtemos uma superfície de revolução que é a pseudo-esfera que pode ser modelo para a geometria hiperbólica.

Definindo a curvatura local k como sendo o produto das curvaturas máxima e mínima em qualquer ponto da superfície é possível mostrar que, para a pseudo-esfera, k = - 1 / R2, valor negativo, sendo R uma constante chamada de raio da pseudo-esfera. Os raios de curvatura máximo e mínimo em um dado ponto P são ilustrados na figura abaixo. Lembrando que, para a esfera, a curvatura é k = 1 / R2, onde R é o raio da esfera, vemos que o nome "pseudo-esfera" para essa superfície usada por Beltrami é bem apropriado.

A soma dos ângulos de um triângulo desenhado sobre a superfície de uma pseudo-esfera é MENOR que 180 graus, como esperado de uma superfície que represente a geometria hiperbólica e o caso AGUDO de Saccheri. Observe que quanto maior o triângulo, menor é a soma de seus ângulos. Isso é exatamente o contrário do que se passa na geometria elíptica e na superfície da esfera que a representa. Além disso, por um ponto P podem passar infinitas "retas" paralelas a outra reta. Na figura, L2 e L3 são paralelas a L1 e se cruzam em um ponto P. Todas as "retas" que passam por P e estão entre L2 e L3 também são paralelas a L1. Dessa vez o Quinto Postulado é violado POR CIMA, coitado.

A pseudo-esfera de Beltrami é interessante mas não é a melhor maneira de se visualizar a geometria hiperbólica. Dois defeitos desagradáveis da pseudo-esfera são: a) as "retas" sobre ela nem sempre são infinitas como deveriam ser; b) existem círculos nela que não podem ser encolhidos até virarem pontos. Por sorte, existem outras formas mais convenientes de representar o plano hiperbólico que não têm esses defeitos. Na próxima apostila, vou mostrar uma delas que é muito interessante.


O disco de Poincaré e as gravuras de Escher.

Qual é a geometria do Universo?