Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS


O disco de Poincaré e as gravuras de Escher.


O grande matemático francês Henri Poincaré inventou um "mapa" que é ótimo para nos ajudar a visualizar o plano hiperbólico. Como veremos também, esse mapa foi usado genialmente por Mauritius Escher em algumas de suas gravuras..

Um mapa é um desenho gráfico que se propõe a representar, sobre uma folha plana de papel, o que existe na realidade em uma região geográfica cheia de acidentes. Reproduzir a superfície de uma esfera, como o globo terrestre, em um papel plano implica necessariamente em distorções. Vamos ver que isso também ocorre no mapa que Poincaré imaginou para representar o plano hiperbólico.

O mapa de Poincaré é do tipo que os matemáticos chamam de "mapa conforme". Nesse tipo de mapa, os ângulos são mantidos invariantes pela transformação. Isto é, se duas "retas" do espaço hiperbólico se cruzam e formam um ângulo qualquer, as representações dessas duas retas no mapa também se cruzam formando o mesmo ângulo.

Resumidamente, o mapa de Poincaré transporta todo um plano do espaço hiperbólico para dentro de um círculo, o "disco S", também chamado de "disco de Poincaré". As seguintes regras são seguidas nesse mapa:

1) Todo ponto do plano hiperbólico corresponde a um, e só um, ponto dentro do disco S.

2) Uma "reta" do plano hiperbólico corresponde a um segmento de círculo encerrado dentro do disco S, cujas pontas se aproximam perpendicularmente da borda desse disco.

A figura mostra um disco S como é visto por nós, habitantes de um espaço (supostamente) euclidiano e tri-dimensional. Todos os pontos de um plano do espaço hiperbólico foram obrigados a se acotovelarem dentro desse disco.

Por dois pontos quaisquer, A e B, passa uma - e só uma - "reta". Dentro do disco S essa "reta" tem a forma de um segmento de círculo cujas pontas são perpendiculares à borda do disco em S e T. Para todos os efeitos, esses pontos S e T nem existem propriamente, pois apenas simbolizam algo que está infinitamente distante no plano hiperbólico. Portanto, a "reta" que passa por A e B e que, para nós, parece ser curta e limitada, é, na verdade, infinita dos dois lados.

Existem "retas" do plano hiperbólico que, quando mapeadas no disco S aparecem, para nós, como retas sem nenhum problema. Todas elas, é claro, têm de se encontrar no centro do disco S.

Três "retas" não colineares formam um triângulo ABC, como mostrado abaixo. A soma dos ângulos desse triângulo é MENOR que 180 graus, como requerido de uma representação correta do espaço hiperbólico. Lembrem que esses ângulos correspondem exatamente aos ângulos representados, já que a transformação é "conforme". Na outra figura, vemos um triângulo reto no espaço hiperbólico representado no disco S.

A figura ao lado mostra um quadrilátero de Saccheri representado no disco S. Tudo que o bom padre intuiu acerca de seu quadrilátero no caso AGUDO está presente nessa representação. A base AB é menor que o topo CD e os ângulos C e D são menores que 90 graus.
Usando essa representação fica fácil constatar que o Quinto Postulado de Euclides realmente não vale para o espaço hiperbólico. Na figura, temos uma "reta" L1 e um ponto P fora dela. Pode-se ver que as "retas" L2 e L3, que passam por P, nunca cruzam com a "reta" L1, logo, são paralelas a ela. Aliás, como vimos antes, podemos traçar um número infinito de "retas" paralelas a L1, todas se cruzando em P.
Brincar com o disco S é uma diversão relaxante que recomendo a vocês. Um passatempo instrutivo, por exemplo, é procurar coisas que são verdadeiras no plano euclidiano mas não são no plano hiperbólico. Logo, não podem aparecer no disco S de Poincaré. Vejam alguns exemplos que vocês podem confirmar.

1) Na geometria euclidiana dois triângulos podem ser semelhantes e não serem iguais em tamanho (ou "congruentes", como dizem os geômetras). Isso é impossível na geometria hiperbólica, onde triângulos semelhantes têm de ser rigorosamente iguais.

2) A área de um triângulo euclidiano é dada por A = L H / 2, onde L é o comprimento da base e H é a altura. Isso não vale para triângulos hiperbólicos.

3) Na geometria hiperbólica não existem quadrados! Isto é, se um quadrilátero tiver 3 ângulos retos, o quarto não pode ser reto.

4) Um quadrilátero no espaço hiperbólico pode ter os quatro lados iguais e os quatro ângulos iguais, mas, todos os ângulos devem ser menores que 90 graus.

5) Se fosse possível cortar, com uma tesoura, um círculo que está dentro do disco S e trazê-lo para nosso mundo euclidiano, ele imediatamente assumiria a forma de uma sela.

Se você prestar atenção, todas essas propriedades decorrem da não validade do Quinto Postulado na geometria hiperbólica.

Vamos ver agora como Mauritius Escher usou o disco S em algumas de suas gravuras. Essas duas vistas abaixo são chamadas de Círculo Limite I (esquerda) e Círculo Limite III. Essa última, umas das poucas gravuras coloridas de Escher, foi feita em 1959.

Os peixes dessas gravuras são representações de nossos queridos "chatóides" (os "poincaretas", se você preferir), habitantes do plano hiperbólico mapeado no disco S.

As gravuras mostram como nós, euclidianos impedernidos, vemos o mundo hiperbólico desses chatóides. Quando um chatóide se afasta do centro do disco, vemos seu tamanho encolher ficanto cada vez menor à medida que se aproxima do círculo limite. O chatóide, é claro, não concorda com essa nossa descrição do que acontece em seu mundo. Para ele, nada muda de tamanho quando se desloca pelo disco. Isso se justifica já que suas réguas e trenas são modificadas na mesma proporção que seus corpos.

Para nós, a velocidade de um raio de luz emitido pela lanterna de um chatóide também vai diminuindo quando se aproxima da periferia, além de seguir uma trajetória circular. O chatóide vê a luz seguir o que ele considera uma reta, com velocidade constante.

Por fim, para nós o universo dos chatóides parece finito. Para eles, é infinito: por mais que eles andem na direção do círculo limite nunca conseguem alcançá-lo.

Pronto. Agora já sabemos da existência das geometrias "elíptica" e "hiperbólica", tão rigorosamente lógicas e respeitáveis quanto a milenar geometria euclidiana. A pergunta que provavelmente está em sua cabeça é: "qual é a geometria de nosso universo? Somos elípticos, euclidianos ou hiperbólicos"?

Vamos falar disso na próxima apostila.


Qual é a geometria do Universo?