Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS


Qual é a geometria do Universo? Our eyes prefer the suppose
That a habitable place
Has a geocentric view,
That architects enclose
A quiet Euclidean space:
Exploded myths - but who
Would feel at home astraddle
An ever expanding saddle?

W. H. Auden, About the House


Localmente, vivemos em um espaço euclidiano com 3 dimensões. Digo "localmente" porque, para efeitos de topografia, construção de prédios e orientação nas ruas a velha e boa geometria de Euclides funciona extremamente bem. Já em escalas maiores, com distâncias astronômicas, isso pode mudar. Para começar, a relatividade geral de Albert Einstein diz que a presença de matéria pode "encurvar" o espaço e modificar o tempo. Isto é, mesmo se nosso espaço for euclidiano quando vazio, perto de uma grande estrela ele se encurva e deixa de ser plano.

E, para complicar mais as coisas, os teóricos de supercordas acham 3 dimensões espaciais muito pouco e só conseguem fechar as complicadas contas que fazem com o uso de 10 ou mais dimensões. Bem, eu não entendo nada dessas modernidades e, por isso, não vou falar delas.

Volto, portanto, ao nosso familiar espaço 3D. Quando a NASA lança um feixe de luz laser na direção da Lua, por exemplo, os engenheiros fazem seus cálculos considerando que esse feixe seguiu uma reta bem retinha em um espaço tipicamente euclidiano. Mas será que essa reta é mesmo uma reta, ou será uma "reta"? Será que, do mesmo modo que os chatóides de Escher, somos "iludidos" por nossos sentidos adaptados à geometria do espaço onde vivemos? Um ser superpoderoso, habitante de um hipotético espaço de 4 dimensões (as nossas 3 e uma extra), observando o feixe de luz da NASA, o que veria? Será que concordaria com nossa visão de reta? Ou será que veria nosso feixe de luz seguir uma trajetória circular, como vimos acontecer com a luz dos chatóides habitantes do disco S? Nesse caso, ele diria que nós habitamos um mundo hiperbólico de 3 dimensões, a "esfera S".

Será que dá para nós sabermos, independentemente de seres superpoderosos inexistentes, que tipo de espaço realmente habitamos?

Em princípio, deve dar. Se você leu minha apostila sobre a CURVATURA DE GAUSS, deve lembrar que bastaria a gente medir a soma dos ângulos de um triângulo de dimensões cosmológicas. Fácil de dizer, mas...

Mas, é mais ou menos isso que os cosmologistas estão tentando fazer. Na impossibilidade de fazer a experiência com a luz de seus tímidos lasers, eles usam a "luz" que vem dos confins do Universo para fazer seus testes de curvatura. Basicamente, eles querem saber se a curvatura global do Universo é positiva, como na geometria elíptica de Riemann, nula, como na geometria plana de Euclides ou negativa, como na geometria hiperbólica de Lobatchevski.

O que eles descobriram até agora é muito controverso. O caso é que, só muito recentemente, a cosmologia deixou de ser uma ciência puramente teórica e especulativa e passou a dispor de resultados observacionais confiáveis. Hoje, os cosmologistas estão recebendo dados obtidos em vários tipos de sondas e detetores, alguns na superfície da Terra e outros em órbita.

Talvez a melhor fonte de dados para esses testes de curvatura do Universo seja a famosa "radiação cósmica de fundo". Que bicho é esse?

Logo que o Universo surgiu do Big Bang, sua temperatura era tão incrivelmente alta que ainda não dava para existir núcleos e átomos, só existia radiação. E ficou assim por uns 300.000 anos até que a temperatura atingiu um nível menos extravagante e a matéria nasceu da energia. Nesse "instante", o Universo ficou "transparente" e a radiação remanescente começou a se espalhar por ele e continua se espalhando até hoje. Essa é a tal "radiação de fundo" e nenhuma luz que chega aos detetores dos astrofísicos pode ser mais antiga que essa. Ela andou um bocado de espaço e tempo até chegar aos detetores dos físicos e traz uma espécie de retrato do Universo quando jovem. A análise dessa radiação é a melhor forma de se investigar a geometria global de nosso Universo.

Só que, pelo menos por enquanto, nada está comprovado. O que já se sabe é que, desde sua fundação, o Universo se apresenta como extremamente homogêneo e isotrópico. "Homogêneo" significa que ele é do mesmo jeito em todos os pontos do espaço. Por exemplo, não existe uma região privilegiada onde haja muito mais matéria que a média do resto. E "isotrópico" quer dizer que todas as direções são equivalentes, isto é, o Universo tem a mesma cara para qualquer direção que se olhe. É claro que estamos nos referindo a coisas de dimensões cosmológicas, sem levar em conta miudezas como estrelas ou até mesmo galáxias.

Só com isso ainda não dá para decidir qual é a geometria do Universo. Há três possibilidades, cada uma associada a uma das três geometrias de que estamos falando desde o início desse relato. Se a geometria do Universo for "elíptica" ele tem curvatura global positiva. Nesse caso, a atual expansão do Universo eventualmente atingirá seu ápice e, a partir desse momento, o Universo passará a se contrair até o esmagamento total e completo. Se o Universo for "plano", isto é, se for globalmente euclidiano, sua curvatura é zero e sua expansão vai diminuir com o tempo mas nunca cessará de todo. E, se a geometria do Universo for "hiperbólica", a atual expansão não só prossegue como até aumenta de velocidade com o passar do tempo. Nesses dois últimos casos, o destino do Universo é a diluição final, a marcha inexorável para o vazio eterno.

As últimas notícias parecem indicar que o Universo é "plano" mas sua expansão está acelerando. Como isso é contraditório, os cosmologistas ficaram desconcertados e foram reler os artigos que Einstein escreveu por volta de 1915. Desses artigos eles recuperaram uma certa "constante cosmológica" que o próprio Einstein já tinha descartado como inútil. Essa "constante" é uma espécie de força misteriosa repulsiva que se contrapõe (se existir) à ação atrativa da gravidade. Einstein precisou inventá-la, originalmente, para evitar que suas equações descrevessem um Universo instável, fadado a só se contrair pela ação da gravidade. Por razões puramente filosóficas, herança de Aristóteles, Einstein teimava em supor que o Universo deveria ser "estático", sem inchar nem murchar. Quando disseram a ele que o Universo não tinha nada de estático, pois estava se expandindo, ele abandonou sua "constante" como desnecessária. Agora, os cosmologistas acham que ela é muito necessária.

Para encurtar essa já muito longa conversa, o fato é que os cosmologistas estão confusos e desarvorados. Ainda não se sabe qual é a geometria do Universo. É possível que, com os equipamentos cada vez mais sensíveis que estão sendo construídos e postos em funcionamento, em breve surjam respostas mais precisas para todas essas questões. Eu, provavelmente, não estarei mais por aqui para ler sobre elas. Como já disse outras vezes, em breve poderei receber essas explicações por comunicação pessoal, direta da boca do acendedor do Big Bang. E se Ele não existir, pretendo reclamar no Decon mais próximo por ter sido vítima, desde criancinha, de propaganda enganosa.