Dona Fifi aos 19 anos.

Apostilas eletrônicas de Dona Fifi
LONGEVIDADE

A fatídica Curva de Gompertz


O inglês Benjamin Gompertz, padroeiro dos atuários, examinando números de falecimentos em várias regiões do Reino Unido descobriu algumas relações matemáticas que se ajustavam a esses números com bastante precisão. Em 1825, ele publicou sua pesquisa na revista da Royal Society em um artigo que ainda hoje é considerado fundamental.

Gompertz notou que havia uma expressão matemática para a probabilidade de alguém, a partir de seu aniversário, morrer antes de chegar ao aniversário seguinte. Essa expressão é uma exponencial do tipo P(t) = A exp(Bt), onde P(t) é a probabilidade acima referida. A e B são constantes que devem ser escolhidas para que a função se ajuste a uma dada população. No gráfico abaixo, vemos como os dados reais da população de um país europeu (pontos) se ajustam muito bem à Lei de Gompertz (traço contínuo). O gráfico de uma exponencial é melhor de ser visto em uma escala semi-logarítmica onde aparece como uma reta. Isto é, no eixo horizontal estão as idades (em anos) e no eixo vertical estão os logaritmos das probabilidades correspondentes. O gráfico semi-logarítmico para homens e mulheres do Brasil, pelos dados do IBGE em 2007, também está abaixo. O calombo na curva dos homens, de 15 a 25 anos, talvez seja devido à violência que assola nosso país. Gráficos semelhantes para países civilizados não têm esse calombo. As mulheres brasileiras têm menores taxas de mortalidade que os homens e essas taxas se ajustam melhor à Lei de Gompertz, vista nas linhas pontuadas.

Como vemos, o ajuste é melhor para idades entre 20 e 90 anos, aproximadamente. Antes de 10 anos, a mortalidade de crianças é maior que a prevista pela Lei de Gompertz. Essa é uma razão para todo mundo se preocupar com a mortalidade infantil.

O mais interessante é que essa Lei de Gompertz vale para praticamente todas as espécies animais. Basta usar os valores para as constantes A e B adequados para cada caso. Podemos ver isso nos gráficos abaixo para dois exemplos um tanto diferentes, moscas e mulheres. Os pontos são dados estatísticos e a linha é o ajuste pela Lei de Gompertz. A curva é a mesma para os dois casos, apenas os valores das idades e das taxas de mortalidade são diferentes.

Podemos ver que a probabilidade de alguém (mulher, no caso do gráfico acima), com qualquer idade além de 20 anos, morrer antes de seu próximo aniversário cresce cerca de 10% a cada ano. Portanto, essa chance dobra de valor a cada 8 anos, aproximadamente. Se você tem 20 anos, essa probabilidade ainda é bem pequena, cerca de 0,04% (1 em 2.500). Com 40, já vai para 1 em 800. Para mim, com meus 96 anos, a coisa fica mais braba. Minha chance de chegar aos 97 anos está em torno de 3%.

Gompertz notou outras coisas curiosas nas tabelas que examinou. Por exemplo, observou que a diferença entre os logaritmos dos números de pessoas que sobreviviam a cada ano, a partir de uma população inicial, tinha um valor praticamente invariante. Dessa maneira, ele chegou a outra função, S(t), que informa o número de sobreviventes a cada instante. Essa função é uma exponencial em cima de outra:

Novamente, A, B e C são constantes que devem ser escolhidas para que a curva se ajuste bem aos valores observados. S(t) é a probabilidade de uma pessoa sobreviver até o próximo aniversário. É claro que as duas funções que mostramos estão relacionadas entre si, mas, uma taxa de sobrevivência é menos triste que uma de mortalidade.

O gráfico abaixo mostra a Curva de Gompertz para as mulheres brasileiras que, atualmente, têm uma expectativa de vida média passando dos 75 anos.

Repito que a Curva de Gompertz, com a forma mostrada na figura acima, vale para muitas espécies, bastando ajustar os parâmetros A, B e C. Para cada espécie, a idade onde a curva cai praticamente a zero, que no caso acima é de uns 100 anos, pode ser bem diferente. Para ratos, por exemplo, não chega a 3 anos. Vamos falar um pouco mais sobre outras espécies, mais adiante. Por enquanto, não mostre essa curva a sua avó, pois ela pode ficar um tanto preocupada.

O trabalho de Benjamin Gompertz, publicado em 1825, está em número da revista da Royal Society inglesa onde também aparecem artigos de alguns pesos-pesados da ciência naquela época. Nesse mesmo exemplar podemos ler artigos de Michael Faraday, Humphry Davy e Charles Babbage. Nada mal para um cara que nunca conseguiu frequentar uma universidade pois era judeu e as universidades britânicas naquele tempo eram antissemitas. Gompertz, mesmo assim, subiu na vida como um cientista respeitado, e não só foi admitido na Royal Society como chegou até mesmo a fazer parte do Conselho da Sociedade. Ele morreu em Londres, com 86 anos.


Por que a Lei de Gompertz funciona tão bem?

A teoria da Evolução, a genética e o envelhecimento.

Quanto tempo podemos viver?

As mazelas da velhice são compulsórias?

O que dizem os demógrafos sobre a longevidade.