CURIOSIDADES DA FÍSICA
José Maria Filardo Bassalo
www.bassalo.com.br

Problema de Sturm-Liouville e a Mecânica Quântica. 

 

O Problema de Sturm-Liouvile (PE-L) é um problema de autovalores, que significa o seguinte: - Dado um operador  aplicado a uma função (F) – autofunção -, ele reproduz a função que é multiplicada por um número (o) – autovalor - que pode ser real ou imaginário. Desse modo, resulta que: F = o F – equação de autovalores (EAV). Um dos exemplos mais simples da EAV é dado pela seguinte equação: (d/dx)[exp (a x)] = a exp (a x), sendo a real ou imaginário. Veremos neste verbete que o PE-L representou um papel importante para o desenvolvimento da Mecânica Quântica, a partir de 1926. Vejamos como começou o PE-L. Em 1836 (Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1, p. 106; 373), o matemático francês Charles François Sturm (1803-1855) apresentou o estudo do fluxo de calor em uma barra de densidade variável por intermédio de uma EAV, estudo esse  que havia iniciado em 1833. Ainda em 1836 (Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1, p. 252), Sturm e o matemático francês Joseph Liouville (1809-1892), iniciaram o estudo da solução de equações diferenciais ordinárias por intermédio de suas autofunções e correspondentes autovalores.

                   A formalização do PE-L só foi apresentado por Sturm e Liouville, erm 1837 (Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 2, p. 16; 418), sumarizado da seguinte maneira. Dada a equação diferencial ordinária definida por:

 

A(x)d2y(x)/dx2 + B(x)dy(x)/dx + [C(x) +  D(x)] y(x) = 0     

 

Ay + By’ + (C + D)y = 0,

 

eles mostraram que ela pode ser escrita na forma:

 

[r(x) y’]’ + [q(x) +  p(x)] y(x) = 0          [y(x)] =  - p(x) y(x) ,

 

r(x) = exp [] ,  q(x) = (C/A) exp [],

 

p(x) = (D/A) exp [],

 

onde   [r(x) y’]’ + q(x) y(x) é o operador de Sturm-Liouville, p(x) é a função peso, e  o autovalor. A equação diferencial acima é conhecida como Equação de Sturm-Liouville (ES-L), que é uma equação de autovalores. 

                   Se, em um dado intervalo fechado (a, b), a função [y(x)] solução dessa equação satisfaz às condições de contorno:

 

a1y(a) + a2y’(a) = 0;   b1y(b) + b2y’(b) = 0,

 

com a1, a2, b1, b2 constantes reais dadas, então a ES-L, com as condições acima – o referido Problema de Sturm-Liouville - apresenta duas soluções: yn(x) e ym(x), linearmente independentes, conhecidas como autofunções, e com os respectivos autovalores , e que satisfazem a seguinte expressão:

 

(),

 

onde é a delta de Kronecker que vale 0, para  n  m, e 1, para n = m. 

                   Depois de proposta a ES-L, os matemáticos perceberam que algumas famosas equações obtidas no Século 18 e também no Século 19, poderiam ser escritas na forma de uma ES-L. Vejamos tais equações. Em 1782 [Mémoires de Mathématique et de Physique Présentés à l´Academie Royale des Sciences, par Divers Sçavans, e Lus dans ses Assemblées  10 (1782), p. 411, publicado em 1785], o matemático francês Adrien Marie Legendre (1752-1833) escreveu o trabalho intitulado Recherches sur l´attraction des sphéroides (“Pesquisas sobre a atração dos esferóides”), no qual demonstrou o importante Teorema: - Se a atração de um sólido de revolução é conhecida em cada ponto externo do prolongamento de seu eixo, então ela será conhecida em qualquer ponto externo. Ainda nesse trabalho, Legendre calculou o componente da força de atração gravitacional exercida por um esferóide de massa (m), por intermédio de sua famosa Equação de Legendre (EL):

 

(1 – x2) y” – 2 x y’ + n (n + 1) y = 0     [(1- x2) y’]’ = - n (n + 1) y,  

 

com n = 0, 1, 2, ... , sendo a solução da mesma o Polinômio de Legendre (y = Pn), que representa a autofunção, e  = n (n + 1), o autovalor. Em 1784 [Histoire de l´Academie Royale avec les Mémoires de Mathématique et de Physique, Paris (1782), p. 370, publicado em 1787], Legendre demonstrou a relação de ortogonalidade de seus polinômios, ou seja:

 

 

                   Mais tarde, em 1789 (Histoire de l´Academie Royale avec les Mémoires de Mathématique et de Physique, Paris (1789), p. 372, publicado em 1793), Legendre trabalhou com a hoje conhecida Equação Associada de Legendre:

 

(1 – x2) y” – 2 x y’ + [n (n + 1) – m2/(1 – x2)] y = 0    

 

[(1- x2) y’]’ – [m2/(1 – x2)] y = - n (n + 1) y,     

 

onde n, m = 0, 1, 2, ... ,  = n (n + 1), é o seu autovalor, e a solução da mesma o Polinômio Associado de Legendre [y = (x)], que satisfaz a seguinte relação de ortogonalidade:

 

 

                   É oportuno registrar que faz parte da solução da Equação de Schrödinger (ES) (vide verbete nesta série) para uma partícula de massa m e energia E, sob a ação de um potencial do tipo central V(r):

 

,

 

onde  são as coordenadas esféricas, , sendo h a constante de Planck.      A solução espacial da ES acima é dada por:

 

 ,

 

sendo  o harmônico esférico, nome cunhado pelo físico inglês William Thomson (Lord Kelvin de Largs) (1824-1907). Nessa expressão,  (= 0, 1, ..., n-1) significa o número quântico orbital, m [= ]o número quântico magnético, e n o número quântico principal. [Lev Davidovich Landau et Evgeny Mikhaillovich Lifc(s)hitz, Mécanique Quantique: Théorie Non Relativiste (Éditions Mir, 1966); A. S. Davydov, Quantum Mechanics (Pergamon Press, 1968)].

                   Em 1813 (Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores 2, p. 123), o matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) trabalhou com a equação diferencial hipergeométrica, hoje conhecida como Equação de Gauss:  

 

x (1 - x) y” + [ – ( +  + 1) x] y’ –   y = 0 

 

cuja solução em forma de série havia sido encontrada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), em 1769. Na linguagem atual, essa solução apresenta a seguinte notação: 1F2 (,,; x). Foi também nesse trabalho que Gauss demonstrou que:

 

1F2 (,,; x) = .

 

                   Em 1836 (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 15, p. 139), o matemático alemão Ernst Eduard Kummer (1810-1893), estendeu o trabalho de Gauss sobre as equações diferenciais hipergeométricas. Estudou um tipo de equação hoje conhecida como equação hipergeométrica confluente ou Equação de Kummer:

 

x y” + ( –x) y’ – y = 0,

 

em que uma das soluções é dada por (na linguagem moderna): 1F1 (,; x), conhecida como Função de Kummer. [F. G. Tricomi, Funzioni Ipergeometriche Confluents Edizioni Cremonese, 1954)].

                   Note que a 1F1 faz parte da solução radial [R()] da Equação de Schrödinger no estudo do espalhamento de um elétron (pósitron) de massa m e carga e- (e+) por um potencial coulombiano ( atrativo (repulsivo): R()  1F1(), onde  = r/a0, sendo a0 = /me2 (~ 0,5 Å), o raio de Bohr. Note que 1F1 também faz parte da solução da Equação de Schrödinger para o oscilador harmônico esférico, cujo potencial (V) é do tipo central e dado por: V(r)  r2. [Landau et Lifc(s)hitz, op. cit.; Davydov, op. cit.].

                   Em 1864 (Comptes Rendus de l´Academie des Sciences de Paris  58, p. 93; 266), o matemático francês Charles Hermite (1822-1901) estudou a solução de equações diferenciais ordinárias com intervalos infinitos. Em consequência desse estudo, apresentou a hoje conhecida Função de Hermite [u(x)], solução da seguinte equação diferencial:

 

u”(x) + (+ 1 - x2) u (x) =  0.   (  R)

 

                   Note que, fazendo a mudança de variável: u(x) = exp (-x2/2) y(x), a equação acima se transforma na hoje conhecida Equação de Hermite:

 

y” – 2 x y’ + 2  y = 0,

 

cuja solução é o Polinômio de Hermite (Hn).

                   Destaque que u(x) = exp (-x2/2) Hn(x), faz parte da solução da Equação de Schrödinger para o potencial [V(x)] do oscilador harmônico simples (uma massa m oscilando com frequência angular ): V (x) = (1/2) k x2, sendo k = m .     

                   Em 1866 (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 66, p. 121), o matemático alemão Immanuel Lazarus Fuchs (1833-1902) estudou as soluções singulares das equações diferenciais de ordem n, do tipo (na linguagem de hoje):

 

Pn(z) (dnw/dzn) + Pn-1(z) (dn-1w/dzn-1) + ... + P1(z) (dw/dz) + P0(z) = 0,

 

onde Pi(z) são funções analíticas em torno de z = 0. Se Pi(z0) = 0, então z0 é denominado de ponto singular. Note que Fuchs introduziu o termo sistema fundamental para representar as n soluções linearmente independentes da equação acima.  [Sir Edmund Taylor Whittaker and George Neville Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press,1969)].

                   Em 1867, o matemático alemão Carl Gottfried Neumann (1832-1925) preparou o artigo intitulado Theorie der Bessel´schen Functionen (“Teoria da Função de Bessel”), no qual encontrou uma solução linearmente independente de Jn(x), a Nn(x), que é definida por (em notação atual):

 

,

 

função essa denominada de Função de Neumann  que é também chamada de Função de Bessel de Segunda Espécie.

                   Observe que, quando o n2 da Equação de Bessel é dado por , com pertencendo ao conjunto Z, ou seja: 

 

x2 y” + x y’ + [x2 - ] y = 0,

 

suas soluções linearmente independentes são representadas por:

 

  e   ,

 

e, respectivamente, conhecidas como Função de Bessel Esférica de Primeira Espécie e Função de Bessel Esférica de Segunda Espécie ou Função de Neumann Esférica.

                   Em 1868, o matemático alemão Eugen Cornelius Joseph von Lommel (1837-1899) escreveu um artigo intitulado Studien über die Bessel´schen Functionen (“Estudos sobre a Função de Bessel”), no qual apresentou uma generalização parcial da Função de Bessel, ou seja: , sendo z uma função complexa e r um número real.

                   Em 1869 (Mathematische Annalen 1, p. 1), o matemático alemão Heinrich Weber (1842-1913) integrou a equação  em um domínio limitado por duas parábolas, e encontrou uma função análoga à Função de Neumann. Em vista disso, esta função é também conhecida como Função de Weber.                

                   Em 1869 (Mathematische Annalen 1, p. 467), o matemático alemão Hermann Hankel (1839-1873) fez a generalização completa de Função de Bessel, isto é: , com z e  complexos. Ainda nesse artigo, Hankel encontrou duas outras soluções independentes de Jn(x), definidas por:

 

; ,

 

conhecidas como Funções  de Hankel ou Funções de Bessel de Terceira Espécie.

                   Em 1874 (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 76, p. 214), o matemático alemão Georg Ferdinand Frobenius (1849-1917) estudou as soluções singulares das equações diferenciais de ordem n, trabalhadas por Fuchs, em 1866, encontrando uma solução do tipo:

 

,

 

com  e cn determinados para cada solução em torno de z = 0.

                   Em 1879 (Bulletin de la Societé Mathématique de France 7, p. 72), o matemático francês Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886) ao resolver integral , trabalhou com suas duas hoje famosas equações. A primeira (Equação de Laguerre):

 

x y” + (1 + x) y’ + y = 0 ,   (  R)

 

cuja solução é o Polinômio de Laguerre [Ln(x)].

                   É oportuno destacar que a Equação de Laguerre é um caso particular da Equação de Kummer, vista acima, quando nesta se considera:  = - n, sendo n  0 e=1. Portanto: Ln(x) = 1F1 (-n, 1; x). [José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Elementos de Física Matemática 1 (Livraria da Física, 2010)].  

                   A segunda equação (Equação Associada de Laguerre) é dada por:

 

x y” + (m + 1 – x) y’ + (n – m ) y = 0,   (n  m; n, m I+)

 

que tem como solução os Polinômios Associados de Laguerre ():

 

(x) = dm Ln(x)/dxm.

 

                   É interessante registrar que o  faz parte da solução radial [R ()] da Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio (H), cujo potencial é central e do tipo: V (r) = - e2/r:

 

R () ,

 

onde  = 2  r/(n a0), sendo a0 o raio de Bohr, definido acima, e n e , respectivamente, os números quânticos: principal (de energia) e angular.

                   Em 1888, o matemático inglês Alfred Barnard Basset (1854-1930) publicou o livro intitulado A Treatise on Hydrodynamics with numerous examples (“Um Tratado sobre Hidrodinâmica com numerosos exemplos”), no qual trabalhou com a Equação de Bessel Modificada:

 

x2 y” + x y’  - (x2)y = 0,            ( é um número complexo)

 

cuja solução é dada pela Função de Bessel Modificada de Primeira Espécie de Ordem :

 

.

 

Quando = n (inteiro), então: In(x) = I-n(x) e são, portanto, linearmente independentes. Em seu livro, Basset apresentou uma solução linearmente independente de In(x), definida por:

 

.

 

                   Observe que as Funções de Bessel Modificadas aparecem no tratamento quântico schrödingeriano do espalhamento de elétrons por átomos neutros como, por exemplo, no estudo das formas de linhas espectrais, e na excitação coulombiana atômica provocada pela interação de um elétron com um átomo alcalino. [Siegfried Flügge, Practical Quantum Mechanics I, II (Springer-Verlag, 1971); José Maria Filardo Bassalo e Mauro Sérgio Dorsa Cattani, Formas de Linhas Espectrais em Gases Neutros, Plasmas Densos e Estabilidade Quiral (EDUFPA, 2007)].