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Pergunta respondida.

Pergunta: O que é a Teoria do Caos? Pode falar um pouco a respeito?


Pergunta de: Lipe


Resposta 1:

O grande problema da matemática desde tempos remotos estava no estudo de sistemas caóticos, ou seja, sistemas nos quais não existe uma ordem predeterminada. Sistemas que se mostravam desordenados eram simplesmente abandonados por matemáticos que se recusavam a tentar desenvolver uma teoria que explicasse o motivo da desordem. Apenas no fim do século passado, o matemático francês Henri Poincaré que estava observando órbitas de planetas, percebeu que certas órbitas apresentavam movimentos caóticos, imprevisíveis. Suas tentativas de explicar matematicamente este caos não motivou outros cientistas. Apenas na década de 60, alguns cientistas curiosos se dispuseram a estudar sistemas como o de gotas de água pingando de uma torneira mal fechada, a movimentação da nuvem de fumaça de um cigarro, o fluxo turbulento de um líquido, etc. No caso da torneira por exemplo, foi utilizada uma célula fotoelétrica que indicava precisamente o instante em que cada gota caía. Após a queda de muitas gotas, os valores foram estudados e colocados em equações complicadíssimas, nascendo então a teoria do caos determinístico. Sistemas caóticos foram sendo descobertos a cada dia e nos mais diversos campos, como por exemplo, a previsão do tempo no mundo, arritmias do coração, ataques epilépticos, crescimento populacional, etc. O estudo destes sistemas, levou à conclusão de que sistemas caóticos são sensivelmente dependentes das condições iniciais. Vamos estudar por exemplo o caso de um grão de pó. Para estudarmos o que vai acontecer com o grão de pó, temos inicialmente que descobrir exatamente o ponto em que ele se encontra, pois uma discrepância mínima em sua posição inicial pode levar a dados sobre um grão imaginário de poeira localizado nas proximidades do grão real. Além disto, temos que considerar que uma pessoa passando perto do grão espirre e a movimentação do ar faça com que o grão levite e ocasionalmente grude em sua roupa. A partir deste instante, qualquer evento pode ocorrer com este grão. Na década de 60, foi demonstrado pelo meteorologista americano Edward Lorenz que as correntes de convecção termal na atmosfera terrestre mostravam uma grande sensibilidade às condições iniciais. Para se determinar o futuro de um sistema caótico, teríamos que saber com precisão infinita as condições iniciais do problema, e isto é impossível de ser obtido. Na década de 70, foi demonstrado que a transição entre fluxo e fluxo turbulento caótico de um líquido se dava a partir de uma certa velocidade crítica. Os padrões observados no estudo de sistemas caóticos podem ser associados a certas figuras denominadas fractais. Originou-se aí uma nova geometria, denominada geometria fractal, a qual teve grande impulso principalmente devido ao grande desenvolvimento da computação gráfica. O desenvolvimento da teoria do caos tem tido avanços consideráveis durante as últimas décadas e se mostra como uma das teorias que avançarão mais no futuro.

Resposta de: Caio Palla Marques - UNICAMP


Resposta 2:

Gilberto, em poucas palavras a teoria do caos não é uma teoria de desordem, mas busca no aparente acaso uma ordem intrínseca determinada por leis precisas. Além do clima, outros processos aparentemente casuais apresentam certa ordem, como por exemplo o quebrar das ondas do mar, crescimento populacional, arritmias cardíacas, flutuação do mercado financeiro, etc... Gilberto, acesse estes sites que encontrará matérias interessantes falando sobre a Teoria do Caos. http://www.digestivocultural.com/colunistas/imprimir.asp?codigo = 815 http://www.geocities.com/inthechaos/fract.htm

Resposta de: Carlos Patrício Veloso - Engenharia de Computação, UBM , Barra Mansa-RJ


Resposta 3:

A teoria dos sistemas dinamicos, a matemática que tornou possível trazer ordem ao caos, foi desenvolvida muito recentemente, mas seus fundamentos foram estabelecidos na virada do século XIX para o século XX, por um dos maiores matemáticos da idade moderna, Jules Henri Poincaré. Dentre todos os grandes matemáticos do século XX, Poincaré foi o último grande generalista. Sua maior contribuição foi trazer de volta a matemática o imaginário visual, pois, do século XVII em diante, o estilo europeu da matemática mudou gradualmente a partir da geometria, a matemática das formas visuais, para a álgebra, a matemática das fórmulas. Isto perdurou por algum tempo, tanto que Laplace, se vangloriava de ter escrito sua obra ''Mecânica Analítica'' sem utilizar figuras, apenas fórmulas. Poincaré inverteu essa tendência. No entando, a matemática visual de Poincaré não é a geometria de Euclides. É uma geometria de um tipo novo, uma matemática de padrões e relações, conhecida como ''topologia''. A topologia é uma geometria na qual todos os comprimentos, ângulos e áreas podem ser distorcidos à vontade. Desse modo, um triângulo pode ser transformado, com continuidade, num retângulo, o retângulo num quadrado, o quadrado num círculo. Devido a essas transformações a topologia é conhecida popularmente como ''geometria da folha de borracha''. Todas as figuras que podem ser transformadas umas nas outras por meio de dobramento, estiramento ou torção são ditas ''topologicamente equivalentes''. No entando, nem tudo é modificável por meio dessas transformações topológicas. De fato, a topologia está preocupada com aquelas propriedades das figuras geométricas que não mudam quando essas figuras são transformadas. Poincaré utilizou concepções topológicas para analisar as características qualitativas de complexos problemas dinâmicos e , ao fezê-lo, assentou os fundamentos da matemática da complexidade, que emergiriam quase um século mais tarde. O que Poincaré representou em sua mente é hoje denominado ''atrator estranho''. Nas palavras de Ian Stewart, ''Poincaré estava olhando fixamente para as pegadas do caos''. As técnicas matemáticas que permitiram aos pesquisadores, nas três últimas décadas, descobrir padrões ordenados em sistemas caóticos baseiam-se na abordagem topológica de Poincaré e estão estritamente ligadas com o desenvolvimento de computadores, que permitem hoje, resolver equações não-lineares por meio de técnicas antes não disponíveis. Ainda não podemos fazer previsões muito precisas, mas elas se referem às características qualitativas do comportamento de um sistema e não aos valores precisos de suas variáveis num determinado instante. Assim, a nova matemática representa uma mudança da quantidade para a qualidade, o que é característico do pensamento sistêmico em geral. Enquanto a matemática convencional lida com quantidades e fórmulas, a teoria dos sistemas dinâmicos lida com qualidades e padrões. Enquanto nas décadas de 60 e 70 se estudavam fenômenos caóticos como os atratores, uma nova geometria chamada ''geometria fractal'', foi desenvolvida independentemente da teoria do caos. Essa geometria iria fornecer uma convincente linguagem matemática para descrever a estrutura em ''escala fina'' dos fenômenos caóticos, como os atratores. O autor dessa nova linguagem é o matemático francês Benoît Mandelbrot. De lá para os tempos atuais a matemática caótica através da ''Teoria do Caos'' e da ''Geometria fractal'', tem exercido sobre as pessoas - de cientistas a empresários e artistas - um grande fascínio, e isto, de fato, pode ser um grande sinal de que o isolamento da matemática está terminando. Hoje a matemática da complexidade está levando mais e mais pessoas a entenderm que a matemática é muito mais do que áridas fórmulas; que o entendimento do padrão é de importancia crucial para o entendimento do mundo vivo que nos cerca; e que todos os assuntos relativos a padrão, a ordem e a complexidade são essencialmente matemáticos. Espero que estas informações possam ser úteis.

Resposta de: Carlos Siqueira, Mogi das Cruzes, SP


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