SEARA DA CIÊNCIA


PROJETOS ESPECIAIS


Demonstrador da distribuição de Gauss.


Objetivo

Demonstrar, experimentalmente, que processos aleatórios independentes levam à distribuição de Gauss, ou distribuiçao normal.


Descrição

Processos aleatórios independentes igualmente prováveis costumam se agrupar de modo a seguir uma distribuição chamada de "normal" que foi descrita e estudada por Gauss. Nessa experiência, os eventos são as quedas de bolinhas de gude através de um padrão simétrico de obstáculos. Ao se agruparem em um conjuntos de "gavetas" no fim da queda, as bolinhas mostram um padrão de arrumação que tende a uma distribuição gaussiana. O arranjo consiste de uma prancha (de compensado ou outro material conveniente) sobre o qual é montado um uma espécie de zig-zag de obstáculos triangulares. Bolinhas de gude caem de um funil no alto e vão caindo pelos caminhos através dos obstáculos até se agruparem em uma série de colunas no fim da prancha. À medida que o número de bolnhas nas colunas vai crescendo, o padrão que elas formam vai se aproximando da distribuição de Gauss, a famosa curva na forma de sino. Essa distribuição mostra que a posição mais provável de uma bolinha ao fim de seu zig-zag é a posição central e, quanto mais distante for a posição de uma coluna desse centro menor a probabilidade de uma bolinha cair nela.


Esquema do arranjo para demonstrar a distribuição de Gauss.
A curva amarela mostra a distribuiçao teórica.


Análise

A distribuição de Gauss originalmente serve para mostrar como se distribuem os erros em uma medida experimental. Mas, pode também mostrar como se distribuem os dados em várias situações originadas de eventos mutuamente independentes. Os professores, por exemplo, costumam acreditar que as notas de seus alunos se distribuem gaussianamente em torno da nota média. Isso nem sempre é verdade, mesmo supondo que não haja cola. Mas, de qualquer forma, a distribuição de Gauss aparece muito frequentemente nas estatísticas.

Matematicamente, essa distribuição pode ser escrita como:

F(x) = H e-h2(x-m)2

Veja a figura. A curva correspondente a essa fórmula tem uma forma de sino com um valor máximo H que ocorre quando a variável x é igual a m, isto é, a média e o máximo coincidem. A largura da curva é controlada pelo valor de h. Quanto maior h, mais estreita é a curva.

Material

Prancha onde se monta o arranjo de triângulos e as colunas. Pode ser de madeira polida, pintada de modo a fazer contraste com a cor das bolinhas.

Os obstáculos triangulares são de madeira dura e polida. Podem também ter a forma de hexágonos. Devem ser bem fixos na prancha.

Bolinhas de gude de vidro. Dependendo do tamanho de sua prancha, podem ser necessárias umas 100 bolinhas ou mais.

Funil de plástico por onde passam as bolinhas. Deve caber umas 10 bolinhas. A medida que elas vão descendo, você vai alimentando o funil com novas bolinhas.


Dicas

Não especificamos dimensões pois todas são relativas. O número de colunas e o número de obstáculos é regido pelas dimensões da prancha. A largura de cada coluna deve ser de 2 a 3 diâmetros de uma bolinha. O funil deve deixar passar apenas uma bolinhas de cada vez mas não deve ser muito estreito para não haver entupimento.

O conjunto todo deve ser disposto fazendo um ângulo com a horizontal. Desse modo as bolinhas não caem depressa demais e não tenderão a pular fora. Se achar melhor, cubra o arranjo com uma placa de vidro, mas, isso encarece o experimento e acrescenta um fator de risco desnecessário.

Na parte mais baixa da prancha, onde ficam as colunas, desenhe uma curva de Gauss para mostrar como as distribuição das bolinhas tende a ela. Para facilitar seu trabalho no desenho dessa curva, damos abaixo uma tabela com o valor da ordenada em 30 pontos. Como a curva é simétrica, isso equivale a 60 pontos. Use o seguinte esquema para desenhar essa curva:
1) Escolha o valor de H que se ajusta a tamanho das colunas e marque esse valor na posição central.
2) Para as demais posições, use a tabela. Por exemplo, na primeira posição ao lado da central, a ordenada é H x 0,9950. Na segunda posição é H x 0,9802. E assim por diante.
3) Repita o processo para os demais pontos e para o outro lado da curva.

A distância entre dois pontos vizinhos no eixo horizontal deve ser tal que caibam os 30 pontos de cada lado da curva. Isto é, se sua prancha tiver, por exemplo, 60 cm de largura, cada ponto distará (60/2)/30 = 1 cm de seu vizinho, na horizontal.


TABELA PARA DESENHAR A CURVA DE GAUSS:

X Y
0 1,0000
1 0,9950
2 0,9802
3 0,9560
5 0,8825
6 0,8353
7 0,7827
8 0,7261
9 0,6670
10 0,6065
11 0,5461
12 0,4868
13 0,4296
14 0,3753
15 0,3247
X Y
16 0,2780
17 0,2357
18 0,1979
19 0,1645
20 0,1327
21 0,1102
22 0,0889
23 0,0071
24 0,0056
25 0,0044
26 0,0034
27 0,0026
28 0,0020
29 0,0015
30 0,0011