( Parte da capa do "Diálogo sobre os Sistemas do Mundo", de Galileu Galilei, 1632. ) SEARA DA CIÊNCIA

AS SÉRIES DE FOURIER
Valores médios de funções.
Queremos calcular a área que fica abaixo da curva que representa uma função f(x) em um dado trecho. Isso é muito fácil se a função f(x) for constante, como na figura ao lado. A área S é simplesmente o produto da base pela altura do retângulo, isto é, S = A Y.

Se a função não for constante o cálculo não é tão simples pois envolve uma integral da função no trecho considerado. No entanto, esse valor sempre pode ser encontrado e aqui vamos supor que ele é conhecido. Isto é, para todos os efeitos, o valor da área S sob a curva pode ser calculado, resultando em um número bem determinado.

A área S sob a função f(x) no trecho entre 0 e A é dada pela integral:

Uma vez conhecido o valor da área S é sempre possível achar um retângulo de base A com a mesma área S. O valor da altura desse retângulo (tal que S = A ) é o VALOR MÉDIO da função f(x) no trecho entre 0 e A. Isto é: = S / A. Os colchetes < > são usados para indicar "valor médio".

Portanto, o valor médio de f(x) entre os extremos 0 e A é dado por:

A função f(x) pode ter valores positivos e negativos no trecho considerado. No gráfico ao lado, f(x) é positivo até o ponto intermediário C e depois passa a ser negativo. Nesse caso, a área S é dada por S = S1 - S2 e o valor médio de f(x) será
= (S1 - S2)/A.

No caso da função sen(x) a área da parte positiva é igual à área da parte negativa no trecho corresponente a um período. Portanto, a área S é nula e o valor médio da função sen(x) em um período é zero. O mesmo ocorre com a função cos(x).
O valor da área S1 é 2. Isso pode ser verificado com o uso da integral de sen(x) entre 0 e , mas, você pode simplesmente aceitar esse resultado como correto. Mais adiante ele será usado.

Agora, vejamos o caso da função f(x) = sen2(x) cujo gráfico é mostrado na figura ao lado. Agora, tanto S1 quanto S2 são positivos e têm o mesmo valor. Para achar o valor médio dessa função em um período podemos lançar mão da simetria. Traçando a reta na altura y=1/2 verificamos que as partes sob a curva que estão acima dessa reta preenchem exatamente os vazios das partes que estão abaixo. Portanto, .

Isto é:

Esses resultados serão usados a seguir no cálculo dos coeficientes de uma série de Fourier.


Capítulo 4: Calculando os coeficientes de uma série de Fourier.

Capítulo 5: Um exemplo prático: a onda quadrada.

Capítulo 6: Pacotes de onda.