( Parte da capa do "Diálogo sobre os Sistemas do Mundo", de Galileu Galilei, 1632. ) SEARA DA CIÊNCIA

AS SÉRIES DE FOURIER
Calculando os coeficientes de uma série de Fourier.
Como vimos, uma função f(x) pode ser "expandida" em uma série de Fourier onde a função é aproximada pela soma de senos e cossenos do seguinte modo:

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

Fourier conseguiu achar uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes a0, a1, a2, ... , b1, b2 etc. Vejamos como isso é feito.

Suponha que queremos achar o coeficiente a3, por exemplo.

Começamos multiplicando os dois lados da equação que define a série por sen(3x). Obtemos, assim:

f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...

A seguir, tomamos as MÉDIAS de cada termo dessa equação:

< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...

E aí surge algo fantástico: todas as médias do lado direito da equação são nulas, menos a média do termo correspondente a a3! Isto é:

Isso acontece porque cada termo da esquerda (menos o termo de a3) contém a média de um seno ou um cosseno em um período, que é zero, como vimos antes. Mas, o termo de a3 contém a média de sen2(3x), que vale 1/2, como também vimos. Portanto:

(É curioso que um truque aparentemente tão simples tenha escapado de um gigante da matemática como Euler.)

Portanto, o coeficiente a3 é 2 vezes a média do produto de f(x) por sen(3x).

Fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx), verificamos, portanto, que:

a0 = < f(x) > = média de f(x).
an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).
bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Se soubermos calcular essas médias, saberemos achar os coeficientes da série de Fourier. No próximo capítulo veremos um exemplo práticoco onde esses coeficientes são calculados.


Capítulo 5: Um exemplo prático: a onda quadrada.

Capítulo 6: Pacotes de onda.